Flessi
Un punto di flesso è un punto del grafico di una funzione in cui cambia la concavità.
Data una funzione $ y=f(x) $ definita e continua in un intervallo \(I\) e derivabile nell'intervallo, escluso al più un punto \(x_0\), il punto \(x_0\) è un punto di flesso se il grafico cambia concavità passando attraverso \(x_0\).
In altre parole, a sinistra e a destra del punto di flesso la curva ha una concavità diversa.
Ad esempio, il grafico può avere una concavità verso il basso prima del punto di flesso e una concavità verso l'alto dopo il punto. Oppure viceversa.
La tangente nel punto di flesso
Se la funzione è derivabile nel punto di flesso, nel punto esiste una retta tangente alla curva.
La tangente può essere obliqua oppure parallela all'asse \(x\). Se invece la derivata è infinita, la tangente è parallela all'asse \(y\).
Una caratteristica importante è che la tangente nel punto di flesso attraversa la curva.
Per questa ragione è detta anche tangente inflessionale.
Perché? Considero un punto di flesso \(F\) e una retta secante che interseca la curva nei punti \(A\), \(F\) e \(B\). Avvicinando progressivamente i punti \(A\) e \(B\) al punto \(F\), la secante tende alla posizione della tangente. I tre punti di intersezione tendono quindi a coincidere nel punto \(F\). Per questo motivo il punto di tangenza \( F \) può essere considerato un punto triplo, ossia un punto in cui tre intersezioni coincidenti della retta con la curva si concentrano nello stesso punto.
Come classificare un flesso
Per classificare un punto di flesso devo quindi osservare due caratteristiche diverse.
La prima è la direzione della tangente.
- Se la tangente è parallela all'asse \(x\), il flesso è orizzontale.
- Se è parallela all'asse \(y\), il flesso è verticale.
- Se non è parallela a nessuno dei due assi, il flesso è obliquo.
La seconda caratteristica è il cambiamento della concavità.
- Se la concavità passa da verso il basso a verso l'alto, il flesso è ascendente.
- Se passa da verso l'alto a verso il basso, il flesso è discendente.
Nota. Le due classificazioni sono indipendenti. Ad esempio, un flesso può essere contemporaneamente orizzontale e ascendente, oppure obliquo e discendente.
In conclusione, ciò che identifica sempre un punto di flesso è il cambiamento di concavità della funzione. La posizione della tangente permette poi di stabilire se il flesso è orizzontale, verticale oppure obliquo.
I tipi di flesso
I flessi possono essere classificati in base alla posizione della tangente nel punto di flesso.
Si distinguono in flessi orizzontali, verticali e obliqui.
Il flesso orizzontale
Un flesso orizzontale è un punto di flesso in cui la tangente è parallela all'asse \(x\).
In questo caso la tangente ha coefficiente angolare nullo. Pertanto, se la funzione è derivabile nel punto \(x_0\), la derivata è nulla $ f'(x_0)=0 $.
Nota. L'annullamento della derivata prima $ f'(x_0)=0 $. non determina da solo l'esistenza di un flesso. Il punto deve anche separare due tratti della curva con concavità diversa. Se la concavità è la stessa, potrebbe esserci un punto di minimo o di massimo.
Il flesso verticale
Un flesso verticale è un punto di flesso in cui la tangente è parallela all'asse \(y\).
In questo caso la derivata è infinita. Geometricamente la curva attraversa il punto di flesso con una tangente verticale.
Il flesso obliquo
Un flesso obliquo è un punto di flesso in cui la tangente non è parallela né all'asse \(x\) né all'asse \(y\).
La tangente ha quindi una direzione obliqua rispetto agli assi cartesiani.
In questo caso la derivata nel punto di flesso è finita e diversa da zero $ f'(x_0)\neq 0 $.
Il flesso ascendente
Un flesso è detto ascendente quando il grafico passa dalla concavità verso il basso alla concavità verso l'alto.
In particolare:
- a sinistra del punto di flesso la concavità è verso il basso;
- a destra del punto di flesso la concavità è verso l'alto.
Pertanto, attraversando il punto da sinistra verso destra, la curva cambia il verso della propria concavità.
Nota. In questo caso, la derivata seconda della funzione $ f(x) $ nell'intorno a sinistra del punto di flesso $ x_0 $ è negativa $ f''(x)<0 $ (concavità verso il basso) mentre quella a destra del punto di flesso è positiva $ f''(x)>0 $ (concavità verso l'alto).
Il flesso ascendente può essere orizzontale, verticale oppure obliquo, a seconda della direzione della tangente nel punto.
E' opportuno non confondersi. Un flesso ascendente non è un flesso in cui la funzione è necessariamente crescente.
Il termine "ascendente" si riferisce al cambiamento della concavità, non al fatto che la funzione cresca o decresca.
Quindi bisogna distinguere due concetti: crescente/decrescente riguarda l'andamento della funzione ed è legato al segno di \(f'(x)\); flesso ascendente/discendente riguarda la concavità ed è legato al cambiamento di segno di \(f''(x)\).
È una distinzione importante perché evita di confondere la monotonia della funzione con la sua concavità.
Il flesso discendente
Un flesso è detto discendente quando si verifica la situazione opposta.
In questo caso:
- a sinistra del punto di flesso la concavità è verso l'alto;
- a destra del punto di flesso la concavità è verso il basso.
Nota. In questo caso, la derivata seconda della funzione $ f(x) $ nell'intorno a sinistra del punto di flesso $ x_0 $ è positiva $ f''(x)>0 $ (concavità verso l'alto) mentre quella a destra del punto di flesso è negativa $ f''(x)>0 $ (concavità verso il basso).
Il flesso discendente può essere orizzontale, verticale oppure obliquo, a seconda della direzione della tangente nel punto.
Anche in questo caso la caratteristica fondamentale è il cambiamento della concavità passando attraverso il punto. Dalla concavità verso l'alto (convessità) alla concavità verso il basso.
Quindi, un flesso discendente non è necessariamente in una funzione decrescente.
E così via.
