Flessi
Un punto di flesso è un punto del grafico di una funzione in cui cambia la concavità.
Data una funzione $ y=f(x) $ definita e continua in un intervallo \(I\) e derivabile nell'intervallo, escluso al più un punto \(x_0\), il punto \(x_0\) è un punto di flesso se il grafico cambia concavità passando attraverso \(x_0\).
In altre parole, a sinistra e a destra del punto di flesso la curva ha una concavità diversa.
Ad esempio, il grafico può avere una concavità verso il basso prima del punto di flesso e una concavità verso l'alto dopo il punto. Oppure viceversa.
- La tangente nel punto di flesso
- Come classificare un flesso
- I tipi di flesso
- Il flesso ascendente
- Il flesso discendente
- Il teorema dei punti stazionari di flesso orizzontale
- I flessi e lo studio della derivata seconda
- Il criterio delle derivate successive (flessi orizzontali)
- Il criterio delle derivate successive (flessi obliqui)
La tangente nel punto di flesso
Se la funzione è derivabile nel punto di flesso, nel punto esiste una retta tangente alla curva.
La tangente può essere obliqua oppure parallela all'asse \(x\). Se invece la derivata è infinita, la tangente è parallela all'asse \(y\).
Una caratteristica importante è che la tangente nel punto di flesso attraversa la curva.
Per questa ragione è detta anche tangente inflessionale.
Perché? Considero un punto di flesso \(F\) e una retta secante che interseca la curva nei punti \(A\), \(F\) e \(B\). Avvicinando progressivamente i punti \(A\) e \(B\) al punto \(F\), la secante tende alla posizione della tangente. I tre punti di intersezione tendono quindi a coincidere nel punto \(F\). Per questo motivo il punto di tangenza \( F \) può essere considerato un punto triplo, ossia un punto in cui tre intersezioni coincidenti della retta con la curva si concentrano nello stesso punto.
Come classificare un flesso
Per classificare un punto di flesso devo osservare due caratteristiche diverse.
La prima è la direzione della tangente.
- Se la tangente è parallela all'asse \(x\), il flesso è orizzontale.
- Se è parallela all'asse \(y\), il flesso è verticale.
- Se non è parallela a nessuno dei due assi, il flesso è obliquo.
La seconda caratteristica è il cambiamento della concavità.
- Se la concavità passa da verso il basso a quella verso l'alto, il flesso è ascendente.
- Se la concavità passa da verso l'alto a verso il basso, il flesso è discendente.
Nota. Le due classificazioni sono indipendenti. Ad esempio, un flesso può essere contemporaneamente orizzontale e ascendente, oppure obliquo e discendente.
In conclusione, ciò che identifica sempre un punto di flesso è il cambiamento di concavità della funzione. La posizione della tangente permette poi di stabilire se il flesso è orizzontale, verticale oppure obliquo.
I tipi di flesso
I flessi possono essere classificati in base alla posizione della tangente nel punto di flesso.
Si distinguono in flessi orizzontali, verticali e obliqui.
Il flesso orizzontale
Un flesso orizzontale è un punto di flesso in cui la tangente è parallela all'asse \(x\).
In questo caso la tangente ha coefficiente angolare nullo. Pertanto, se la funzione è derivabile nel punto \(x_0\), la derivata è nulla $ f'(x_0)=0 $.
Nota. L'annullamento della derivata prima $ f'(x_0)=0 $. non determina da solo l'esistenza di un flesso. Il punto deve anche separare due tratti della curva con concavità diversa. Se la concavità è la stessa, potrebbe esserci un punto di minimo o di massimo.
Il flesso verticale
Un flesso verticale è un punto di flesso in cui la tangente è parallela all'asse \(y\).
In questo caso la derivata è infinita. Geometricamente la curva attraversa il punto di flesso con una tangente verticale.
Il flesso obliquo
Un flesso obliquo è un punto di flesso in cui la tangente non è parallela né all'asse \(x\) né all'asse \(y\).
La tangente ha quindi una direzione obliqua rispetto agli assi cartesiani.
In questo caso la derivata nel punto di flesso è finita e diversa da zero $ f'(x_0)\neq 0 $.
Il flesso ascendente
Un flesso è detto ascendente quando il grafico passa dalla concavità verso il basso alla concavità verso l'alto.
In particolare:
- a sinistra del punto di flesso la concavità è verso il basso;
- a destra del punto di flesso la concavità è verso l'alto.
Pertanto, attraversando il punto da sinistra verso destra, la curva cambia il verso della propria concavità.
Nota. In questo caso, la derivata seconda della funzione $ f(x) $ nell'intorno a sinistra del punto di flesso $ x_0 $ è negativa $ f''(x)<0 $ (concavità verso il basso) mentre quella a destra del punto di flesso è positiva $ f''(x)>0 $ (concavità verso l'alto).
Il flesso ascendente può essere orizzontale, verticale oppure obliquo, a seconda della direzione della tangente nel punto.
E' opportuno non confondersi. Un flesso ascendente non è un flesso in cui la funzione è necessariamente crescente.
Il termine "ascendente" si riferisce al cambiamento della concavità, non al fatto che la funzione cresca o decresca.
Quindi bisogna distinguere due concetti: crescente/decrescente riguarda l'andamento della funzione ed è legato al segno di \(f'(x)\); flesso ascendente/discendente riguarda la concavità ed è legato al cambiamento di segno di \(f''(x)\).
È una distinzione importante perché evita di confondere la monotonia della funzione con la sua concavità.
Il flesso discendente
Un flesso è detto discendente quando si verifica la situazione opposta.
In questo caso:
- a sinistra del punto di flesso la concavità è verso l'alto;
- a destra del punto di flesso la concavità è verso il basso.
Nota. In questo caso, la derivata seconda della funzione $ f(x) $ nell'intorno a sinistra del punto di flesso $ x_0 $ è positiva $ f''(x)>0 $ (concavità verso l'alto) mentre quella a destra del punto di flesso è negativa $ f''(x)<0 $ (concavità verso il basso).
Il flesso discendente può essere orizzontale, verticale oppure obliquo, a seconda della direzione della tangente nel punto.
Anche in questo caso la caratteristica fondamentale è il cambiamento della concavità passando attraverso il punto. Dalla concavità verso l'alto (convessità) alla concavità verso il basso.
Quindi, un flesso discendente non è necessariamente in una funzione decrescente.
Il teorema dei punti stazionari di flesso orizzontale
Sia \(y=f(x)\) una funzione definita e continua in un intorno completo \(I_{x_0}\) di un punto \(x_0\), e derivabile nei punti dell'intorno. Il punto \(x_0\) è un punto stazionario di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni:
- La derivata prima è nulla nel punto: \[ f'(x_0)=0 \]
- La derivata prima mantiene lo stesso segno per ogni \(x\neq x_0\) sufficientemente vicino a \(x_0\).
Queste condizioni permettono di riconoscere un possibile flesso orizzontale stazionario quando la derivata prima non cambia segno attraversando il punto in cui si annulla.
Infatti, escludono la presenza di un massimo o di un minimo relativo, ma non garantiscono necessariamente che il punto sia un flesso, perché il mantenimento del segno della derivata prima, da solo, non garantisce un cambiamento di concavità.
Per identificare con certezza un punto stazionario di flesso orizzontale, occorre verificare anche che la funzione cambi concavità attraversando \( (x_0) \).
Nota. Un punto stazionario di flesso orizzontale presenta due caratteristiche fondamentali: la tangente è orizzontale e la concavità cambia. In questo punto la derivata prima è nulla, mentre la derivata prima mantiene lo stesso segno prima e dopo il punto. In altre parole, la funzione continua a essere crescente oppure decrescente, ma cambia il modo in cui varia la sua pendenza. A differenza di un massimo o di un minimo relativo, nei casi descritti la funzione mantiene lo stesso andamento crescente o decrescente prima e dopo il punto.
Pertanto, per riconoscere correttamente un flesso orizzontale è necessario considerare sia la derivata prima sia il comportamento della concavità.
In questo caso ci sono due casi possibili:
1] Flesso orizzontale con funzione crescente
Se la derivata prima è positiva sia prima sia dopo \(x_0\), ossia
\[ f'(x)>0 \qquad \text{per }x\neq x_0 \]
la funzione è crescente su entrambi i lati del punto.
Nel punto \(x_0\), la derivata prima si annulla e la tangente è orizzontale. Se la concavità cambia, il punto è un flesso orizzontale.
Esempio
Ad esempio, considero la funzione:
\[ f(x)=x^3 \]
La derivata prima è:
\[ f'(x)=3x^2 \]
La derivata si annulla per \(x=0\):
\[ f'(0)=0 \]
Per ogni \(x\neq 0\), invece, la derivata è positiva:
\[ 3x^2>0 \]
La funzione è quindi crescente sia a sinistra sia a destra dell'origine.
Ora devo verificare se la concavità cambia. Per farlo, devo calcolare la derivata seconda della funzione:
\[ f''(x)=6x \]
La derivata seconda è negativa per \(x<0\) e positiva per \(x>0\). Di conseguenza, la funzione cambia concavità nell'origine.
Pertanto, la funzione \(f(x)=x^3\) è crescente e presenta un flesso orizzontale nell'origine.
Il punto \(O(0,0)\) è quindi un flesso orizzontale a tangente crescente, non un massimo o un minimo relativo.
2] Flesso orizzontale con funzione decrescente
Se la derivata prima è negativa sia prima sia dopo \(x_0\), ossia
\[ f'(x)<0 \qquad \text{per }x\neq x_0 \]
la funzione è decrescente su entrambi i lati del punto.
Anche in questo caso, se la funzione cambia concavità, il punto è un flesso orizzontale.
Esempio
Considero la funzione:
\[ f(x)=-x^3 \]
La derivata prima è:
\[ f'(x)=-3x^2 \]
La derivata si annulla nell'origine:
\[ f'(0)=0 \]
Per ogni \(x\neq 0\), invece:
\[ -3x^2<0 \]
La funzione è quindi decrescente sia prima sia dopo l'origine.
A questo punto, calcolo la derivata seconda per verificare se la concavità cambia:
\[ f''(x)=-6x \]
La derivata seconda è positiva per \(x<0\) e negativa per \(x>0\). La concavità cambia quindi nell'origine.
Quindi, la funzione \(f(x)=-x^3\): la funzione è decrescente e presenta un flesso orizzontale nell'origine.
Il punto \(O(0,0)\) è dunque un flesso orizzontale a tangente decrescente.
Qual è la differenza tra flesso orizzontale, massimo e minimo?
La differenza principale riguarda il comportamento della derivata prima nei pressi del punto stazionario.
- Massimo relativo: la derivata prima passa da positiva a negativa.
- Minimo relativo: la derivata prima passa da negativa a positiva.
- Flesso orizzontale crescente: la derivata prima è positiva su entrambi i lati.
- Flesso orizzontale decrescente: la derivata prima è negativa su entrambi i lati.
Nei primi due casi, la funzione cambia monotonia. Nei flessi orizzontali descritti, invece, continua a crescere o a decrescere, pur cambiando concavità.
Come riconoscere un flesso orizzontale?
Per individuare un punto stazionario di flesso orizzontale si può seguire questo procedimento:
- 1. Calcolare la derivata prima \(f'(x)\).
- 2. Risolvere l'equazione \(f'(x)=0\) per trovare i punti stazionari.
- 3. Studiare il segno della derivata prima a sinistra e a destra di ciascun punto.
- 4. Verificare il cambiamento di concavità, ad esempio mediante il segno della derivata seconda.
Se la derivata prima non cambia segno e la concavità cambia, il punto è un flesso orizzontale.
Metodo alternativo
Un altro criterio utile, quando la funzione è sufficientemente derivabile, consiste nel verificare che la derivata prima e la derivata seconda siano nulle nel punto \( x_0 \):
\[ f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)=0 \]
e che la derivata terza sia diversa da zero:
\[ f'''(x_0)\neq 0 \]
Queste condizioni sono sufficienti per riconoscere un flesso orizzontale, ma non sono necessarie in tutti i casi.
Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^5\) presenta un flesso orizzontale nell'origine, anche se la sua derivata terza si annulla in quel punto.
Nota. Credo sia opportuno ricordare che in questo paragrafo sto parlando esclusivamente di "flessi orizzontali", esistono anche altri flessi (es. flessi obliqui). Le condizioni generali per determinare ogni tipo di flesso le rimando alla lettura del prossimo paragrafo di questi appunti.
I flessi e lo studio della derivata seconda
Data una funzione \(f(x)\) continua in un intorno del punto \(x_0\) e due volte derivabile nei punti dell'intorno diversi da \(x_0\), per individuare i punti di flesso si studia generalmente il segno della derivata seconda \(f''(x)\), che fornisce informazioni sulla concavità della funzione. Si procede nel seguente modo:
- Si calcola la derivata seconda \(f''(x)\).
- Si individuano, nel dominio della funzione, i valori di \(x\) per cui la derivata seconda si annulla \(f''(x)=0\) oppure la derivata seconda non esiste.
- Si verifica che la funzione sia continua nel punto \( x \) e che la concavità cambi. Se la derivata seconda passa da positiva a negativa, o viceversa, il punto è un flesso.
- Una volta individuato un punto di flesso \(x_0\), si calcola la derivata prima per determinare il tipo di flesso:
- Se \(f'(x_0)=0\), il flesso è orizzontale.
- Se \(f'(x_0)\ne 0\), con derivata finita, il flesso è obliquo.
- Se la funzione non è derivabile nel punto \(x_0\), ma è continua e presenta una tangente verticale, il flesso è verticale se la concavità cambia attraversando il punto. Per verificare la presenza della tangente verticale si studia il limite della derivata prima: \[ \lim_{x\to x_0}f'(x)=+\infty \] oppure \[ \lim_{x\to x_0}f'(x)=-\infty \] Se uno di questi limiti è verificato e la funzione cambia concavità nel punto, allora \(x_0\) è l'ascissa di un flesso a tangente verticale. La retta tangente ha equazione \( x=x_0 \)
In generale, se una funzione presenta un flesso in \(x_0\) e la derivata seconda esiste nel punto, allora necessariamente \(f''(x_0)=0\).
Tuttavia, va detto che questa condizione è necessaria ma non sufficiente, perché la derivata seconda può annullarsi anche senza un cambiamento di concavità.
Inoltre, possono esistere flessi nei quali la derivata seconda non esiste.
Esempio
Considero la funzione:
\[ f(x)=x^3 \]
La derivata prima è:
\[ f'(x)=3x^2 \]
La derivata seconda è:
\[ f''(x)=6x \]
Ponendo \(f''(x)=0\), si ottiene \(x=0\). Ho individuato un punto in cui la derivata seconda si annulla.
Ora controllo se la derivata seconda cambia segno a destra e a sinistra del punto.
Per \(x<0\), la derivata seconda è negativa, mentre per \(x>0\) è positiva.
Pertanto, il grafico cambia concavità nell'origine, che è un punto di flesso.
Inoltre, poiché la derivata prima si annulla \(f'(0)=0\) nel punto \( x=0 \), la tangente nel punto è orizzontale.
Pertanto, l'origine \(O(0,0)\) è un punto di flesso a tangente orizzontale.
Esempio 2
Considero la funzione:
\[ f(x)=x^3+x \]
La derivata prima è:
\[ f'(x)=3x^2+1 \]
La derivata seconda è:
\[ f''(x)=6x \]
Ponendo \(f''(x)=0\), si ottiene \(x=0\). Ho così individuato un possibile punto di flesso.
Ora controllo se la derivata seconda cambia segno a sinistra e a destra del punto.
Per \(x<0\), la derivata seconda è negativa, mentre per \(x>0\) è positiva.
Il grafico cambia concavità nell'origine, pertanto è un punto di flesso.
A questo punto, calcolo la derivata prima nel punto \(x=0\):
\[ f'(0)=3\cdot 0^2+1=1 \]
Poiché \(f'(0)\ne 0\), la tangente nel punto non è orizzontale, ma obliqua.
Dunque, l'origine \(O(0,0)\) è un punto di flesso a tangente obliqua.
Il grafico mostra che la curva attraversa la propria tangente obliqua nell'origine, passando da una concavità verso il basso a una concavità verso l'alto.
Come si trova l'equazione della retta tangente quando è obliqua?
Per trovare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione \(f(x)\) in un punto di ascissa \(x_0\), si utilizza la formula:
\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]
Dove:
- \(x_0\) è l'ascissa del punto di tangenza.
- \(f(x_0)\) è l'ordinata del punto di tangenza.
- \(f'(x_0)\) è il coefficiente angolare della retta tangente.
Ad esempio, consideriamo la funzione dell'esempio precedente:
\[ f(x)=x^3+x \]
Ho già verificato che presenta un flesso obliquo nell'origine, dove \(x_0=0\).
Calcolo le coordinate del punto di tangenza.
\[ y=f(x_0)=f(0)=0^3+0=0 \]
Il punto di tangenza è quindi \(P(0,0)\).
Calcolo il coefficiente angolare della tangente.
La derivata prima è:
\[ f'(x)=3x^2+1 \]
Nel punto \(x_0=0\):
\[ f'(0)=3\cdot0^2+1=1 \]
Quindi il coefficiente angolare è \(m=1\).
Applico la formula della retta tangente.
\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]
Sostituendo i valori:
\[ y-0=1\cdot(x-0) \]
Ottengo:
\[ y=x \]
Questa è l'equazione della retta tangente nel punto di flesso obliquo \(P(0,0)\).
Il criterio delle derivate successive (flessi orizzontali)
Data una funzione \(y=f(x)\) che ammette derivate continue fino all'ordine \(n\) in un intervallo aperto. Se in un punto interno \(x_0\) tutte le derivate fino all'ordine \(n-1\) sono nulle \[ f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \] mentre la derivata di ordine \(n\), con \(n\geq 2\), è diversa da zero \[ f^{(n)}(x_0)\neq 0 \] allora posso classificare il punto stazionario in base all'ordine e al segno della prima derivata non nulla.
- Se \(n\) è pari, il punto \(x_0\) è un massimo relativo se \(f^{(n)}(x_0)<0\), oppure un minimo relativo se \(f^{(n)}(x_0)>0\).
- Se \(n\) è dispari, il punto \(x_0\) è un flesso a tangente orizzontale discendente se \(f^{(n)}(x_0)<0\), oppure un flesso a tangente orizzontale ascendente se \(f^{(n)}(x_0)>0\).
Questo criterio è particolarmente utile per riconoscere i flessi a tangente orizzontale quando la derivata prima e la derivata seconda sono entrambe nulle.
In questi casi, infatti, il criterio della derivata seconda non permette di stabilire la natura del punto.
Nota. L'ordine della derivata prima è 1, quello della derivata seconda è 2, quello della derivata terza è 3 e così via. In generale, l'ordine di una derivata indica quante volte ho derivato la funzione originale. Pertanto, le derivate di ordine pari sono la seconda, la quarta, la sesta, ecc. Le derivate di ordine dispari sono la prima, la terza, la quinta, ecc.
Esempio
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
Calcolo la derivata prima.
\[ f'(x)=3x^2 \]
Cerco i punti stazionari ponendo la derivata prima uguale a zero.
\[ 3x^2=0 \]
Ottengo
\[ x_0=0 \]
Calcolo la derivata seconda.
\[ f''(x)=6x \]
Nel punto \(x_0=0\), anche la derivata seconda è nulla.
\[ f''(0)=0 \]
Pertanto, non posso utilizzare il criterio della derivata seconda per stabilire la natura del punto.
Calcolo la derivata terza.
\[ f'''(x)=6 \]
La derivata terza è positiva e diversa da zero nel punto \(x_0=0\).
\[ f'''(0)=6>0 \]
Poiché la prima derivata non nulla è di ordine dispari ed è positiva, posso concludere che \(x_0=0\) è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente.
Calcolo il valore della funzione nel punto.
\[ f(0)=0 \]
Quindi, il punto di flesso ha quindi coordinate \((0,0)\).
Il criterio delle derivate successive (flessi obliqui)
Considero una funzione \(y=f(x)\) con derivate continue fino all'ordine \(n\) in un intervallo aperto contenente \(x_0\), e suppongo che la derivata prima in questo punto sia diversa da zero:
\[ f'(x_0)\neq 0 \]
Se le derivate dalla seconda fino all'ordine \(n-1\) si annullano:
\[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \]
mentre la derivata di ordine \(n\) è la prima non nulla dopo la derivata prima:
\[ f^{(n)}(x_0)\neq 0,\qquad n\geq 3 \]
posso stabilire il comportamento della concavità osservando la parità di \(n\) e il segno di \(f^{(n)}(x_0)\).
Se \(n\) è dispari, il punto \((x_0,f(x_0))\) è un flesso a tangente obliqua. Attraversando \(x_0\) da sinistra verso destra:
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), la concavità cambia dal basso verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), la concavità cambia dall'alto verso il basso.
Se \(n\) è pari, invece, non ho un punto di flesso, perché la concavità mantiene lo stesso verso sui due lati di \(x_0\). In un intorno sufficientemente piccolo del punto:
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), la concavità è rivolta verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), la concavità è rivolta verso il basso.
Questo criterio permette di individuare i flessi a tangente obliqua con le derivate successiva.
A differenza del precedente criterio, suppone per ipotesi che la derivata prima sia non nulla nel punto in questione.
Un esempio pratico
Considero la funzione:
\[ f(x)=x^3-2x^2+x \]
Per individuare gli eventuali punti di flesso, calcolo le prime due derivate:
\[ f'(x)=3x^2-4x+1 \]
\[ f''(x)=6x-4 \]
Pongo la derivata seconda uguale a zero:
\[ 6x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x_0=\frac{2}{3} \]
Verifico che la derivata prima in questo punto sia diversa da zero:
\[ f'\left(\frac{2}{3}\right) =3\cdot\frac{4}{9}-4\cdot\frac{2}{3}+1 =-\frac{1}{3}\neq 0 \]
La tangente è quindi obliqua. Calcolo ora la derivata terza:
\[ f'''(x)=6 \]
Nel punto \(x_0=\frac{2}{3}\), la derivata seconda è nulla, mentre la derivata terza è positiva:
\[ f''\left(\frac{2}{3}\right)=0,\qquad f'''\left(\frac{2}{3}\right)=6>0 \]
La prima derivata non nulla dopo la derivata prima è di ordine 3, un numero dispari. Quindi ho un flesso a tangente obliqua, nel quale la concavità passa dal basso verso l'alto.
Per trovare le coordinate del flesso, calcolo il valore della funzione:
\[ f\left(\frac{2}{3}\right) =\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{2}{3} =\frac{2}{27} \]
Il punto di flesso è:
\[ F\left(\frac{2}{3},\frac{2}{27}\right) \]
Ecco il grafico della funzione.
Posso verificare il cambiamento di concavità studiando il segno di \(f''(x)=6x-4\):
- Per \(x<\frac{2}{3}\), la derivata seconda è negativa e la concavità è rivolta verso il basso.
- Per \(x>\frac{2}{3}\), la derivata seconda è positiva e la concavità è rivolta verso l'alto.
La retta tangente nel punto di flesso ha coefficiente angolare \(f'\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{3}\), quindi la sua equazione è:
\[ y-\frac{2}{27}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right) \]
ossia:
\[ y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{27} \]
E così via.
