La derivata di una funzione

La definizione di derivata

La derivata di una funzione f(x) in un punto x è il limite del rapporto incrementale $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ Considerando $ h= \Delta x $ si può scrivere anche $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h )-f(x)}{h}$$

Se il limite del rapporto incrementale della funzione per $ \Delta x \to 0 $ nel punto $ x $ esiste ed è un numero finito,  la funzione è detta funzione derivabile in quel punto.

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = l \in \mathbb{R}  $$

Viceversa, se il limite non esiste o è infinito, la funzione non è derivabile nel punto.

Il limite del rapporto incrementale è invece detto operazione di derivazione.

Esempio

Il valore del limite del rapporto incrementale è detta derivata prima e si indica con f'(x).

La derivata prima può essere indicata anche in altri modi o con altre notazioni

$$ f'(x)=Df=\frac{dy}{dx}=y' $$

Il simbolo dy/dx è detta notazione di Leibniz.

La derivata di una funzione rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto $ x $.

Nota. La derivata prima f'(x) è a tutti gli effetti un'altra funzione e a sua volta può essere derivata. La derivata della derivata è detta derivata seconda e si indica con f"(x) e così via.

Le condizioni della derivabilità

Una funzione f(x) definita nell'intervallo (a,b) è una funzione derivabile in un punto x se esiste il limite del rapporto incrementale in x per h tendente a zero ed è un numero finito.

Una funzione è derivabile in un intervallo aperto (a,b) se è derivabile in ogni punto x compreso tra gli estremi a e b esclusi ossia x ∈ (a,b) .

Una funzione è derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in ogni punto x ∈ [a,b] e se esiste la derivata destra nel punto a e la derivata sinistra nel punto b.

I punti dove la funzione non è derivabile sono detti punti singolari.

Esempio di calcolo

Calcolo la derivata della funzione in un generico punto \( x \).

\[ f(x)=x^3-x \]

Per definizione, la derivata si calcola tramite il rapporto incrementale:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Per calcolare \( f(x+h) \) devo sostituire \( x+h \) al posto di ogni \( x \)  presente nella funzione \( f(x)=x^3-x \).

\[ f(x + h ) = (x+h)^3-(x+h) \]

Sostituisco nella formula l'espressione della funzione \( f(x) \) e \( f(x + h ) \):

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^3-(x+h)]-(x^3-x)}{h} \]

Ora sviluppo il cubo \( (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \)

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x}{h} \]

Semplifico e ottengo

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h} \]

Tutti i termini del numeratore contengono \( h \), quindi possiamo raccoglierlo:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h} \]

Semplifico \( h \) al numeratore e al denominatore:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2-1) \]

Poiché il limite fa tendere \( h \) a zero, la derivata della funzione è:

\[f'(x)=3x^2-1 \]

Sostituendo a \( x \) i diversi valori del dominio della funzione, posso calcolare il valore della derivata in ciascun punto.

Come si può osservare nel grafico, la derivata descrive l’andamento del coefficiente angolare della tangente alla funzione.

In altre parole, la derivata \( f'(x) \) è positiva nei tratti in cui la funzione \( f(x) \) cresce e negativa nei tratti in cui la funzione decresce.

Nota. Quando la funzione \( f(x)=x^3-x \) è crescente, il coefficiente angolare della tangente è positivo. Di conseguenza, anche la derivata \( f'(x)=3x^2-1 \) assume valori positivi \( f'(x)>0 \). Viceversa, quando la funzione è decrescente, il coefficiente angolare della tangente è negativo e quindi anche la derivata assume valori negativi \( f'(x)<0 \)

La derivata sinistra e la derivata destra

Può comunque accadere che la funzione non sia derivabile nel punto x, ma lo sia negli altri punti a sinistra o a destra di x.

In questi casi i valori finiti dei limiti sono detti derivata sinistra e derivata destra di x.

Qual è la differenza?

Nella derivata sinistra l'incremento Δx tende a 0 da sinistra ed è un numero negativo Δx<0.

Nella derivata destra, invece, l'incremento Δx tende a 0 da destra ed è un numero positivo Δx>0.

Le derivate destra e sinistra sono strettamente legate alla derivabilità della funzione in un punto.

Se una funzione è derivabile nel punto x allora la derivata destra e sinistra esistono e hanno lo stesso valore. $$ f'(x) = f'_-(x)=f'_+(x) $$

Se invece la funzione non è derivabile nel punto, possono comunque esistere le derivate laterali, ma avere valori diversi. Ad esempio, questo accade nelle funzioni con uno spigolo o una cuspide.

Va però precisato che le derivate laterali esistono soltanto se la funzione è definita nel punto.

Se la funzione non è definita in \( x \), allora non esistono né la derivata ordinaria né le derivate laterali.

Un esempio pratico

Un esempio classico di funzione che ha derivata destra e derivata sinistra diverse nello stesso punto è la funzione valore assoluto:

\[ f(x)=|x| \]

Posso riscrivere la funzione in forma equivalente eliminando il valore assoluto:

\[ f(x)=|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ \\  -x & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

Questa funzione è definita in tutto \( \mathbb{R} \) ed è continua anche nel punto \( x=0 \).

Tuttavia, in \( x=0 \) la derivata destra e la derivata sinistra sono diverse.

La derivata destra è:

\[ f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}  =\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h} \]

Per \( h>0 \), vale \( |h|=h \), quindi:

\[ f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1 \]

La derivata sinistra è:

\[ f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h} \]

Per \( h<0 \), vale \( |h|=-h \), quindi:

\[ f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1 \]

Poiché la derivata sinistra e destra sono diverse \( f'_+(0)\neq f_-(0) \), la funzione non è derivabile nel punto \( x=0 \).

Geometricamente, nel punto \( x=0 \) il grafico presenta una punta (o spigolo).

 

Esempio 2

Ora studio questa funzione

\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]

La funzione non è derivabile nel punto \( x=0 \) perché non è definita in \( x=0 \). Il dominio è:

\[ D=\mathbb{R}\setminus{0} \]

Quindi non esiste il valore \( f(0) \) e, di conseguenza, non si può parlare di derivata nel punto \( x=0 \).

La derivata esiste invece in tutti gli altri punti del dominio ed è:

\[ f'(x)=-\frac{2}{x^3} \]

C'è però una differenza importante rispetto alla funzione \( \frac{1}{x} \).

Nel caso di \( \frac{1}{x^2} \) il limite tende a \( +\infty \) sia da destra sia da sinistra:

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^2}=+\infty \]

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty \]

Quindi il grafico sale verso \( +\infty \) da entrambi i lati dell’asintoto verticale \( x=0 \).

Esistono le derivate laterali in x=0? No, in senso rigoroso non esistono nemmeno la derivata destra e la derivata sinistra in \( x=0 \). Infatti anche le derivate laterali richiedono che la funzione sia definita nel punto. $$ f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ $$ f'_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ Nel caso della funzione \( f(x)=\frac{1}{x^2} \) in \( x_0=0 \) compare il termine \( f(0) \), che non esiste. Quindi \( \frac{f(h)-f(0)}{h} \) non è definito. Di conseguenza, non esistono né la derivata destra né la derivata sinistra nel senso matematico rigoroso. Non bisogna confondere le derivate laterali con i limiti laterali della funzione. Nel caso di \( f(x)=\frac{1}{x^2} \), i limiti laterali hanno lo stesso valore \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=+\infty \] \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty \] Questi sono i limiti della funzione vicino a \( x=0 \), non le derivate laterali nel punto. Sono due concetti diversi.

Derivata di una funzione in un punto o in un intervallo

La derivata di una funzione può essere definita sia in un singolo punto sia in un intervallo. Nei due casi il significato matematico è collegato, ma non identico.

• La derivata in un punto

  Data una funzione \( f(x) \), la derivata nel punto \( x_0 \) è definita come il limite del rapporto incrementale, se questo limite esiste ed è finito: \[ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \] In questo caso si dice che la funzione è derivabile nel punto \( x_0 \).

  La derivata di una funzione in un punto misura la rapidità di variazione della funzione in quel preciso punto. Geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione.

  Esempio. La funzione $ f(x)=|x| $ è derivabile nel punto $ x_0 = 2 $ ma non è derivabile nel punto $ x_0= 0 $ perché, pur essendo definita, in questo punto la derivata sinistra e la derivata destra sono diverse. La funzione $ f(x) = \frac{1}{x^2}  $ è derivabile nel punto $ x_0 = 2 $ ma non è derivabile nel punto $ x_0=0 $ perché in questo punto la funzione non è definita. 

• La derivata in un intervallo

  Una funzione \( f(x) \) è derivabile in un intervallo \( (a,b) \) se ammette derivata in ogni punto $ x $ dell'intervallo \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] In tal caso la derivata stessa diventa una nuova funzione, detta funzione derivata, indicata con \( f'(x) \).

  Nel caso di un intervallo chiuso \( [ a,b ] \) bisogna verificare se esistono e sono finite anche la derivata destra in $ a $ e la derivata sinistra in $ b $. \[ f'(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] \[ f'(b)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h} \] Quando si parla di derivata in un intervallo, non ci si riferisce a un solo punto ma a tutti i punti dell'intervallo considerato. La derivata in un intervallo mi permette di studiare l'andamento generale della funzione, ad esempio dove cresce, dove decresce oppure dove presenta massimi e minimi relativi.

  Esempio. La funzione $ f(x)=|x| $ è derivabile nell'intervallo \( [0,5] \) perché ammette la derivata in ogni punto dell'intervallo \( (a,b) \), la derivata destra in \( 0 \) e la derivata sinistra in \( 5 \).

  Nota. Va detto che in alcuni testi si adotta una definizione più restrittiva di derivabilità in un intervallo chiuso, secondo cui la funzione deve essere derivabile anche negli estremi \( a \) e \( b \) nel senso ordinario. In questa convenzione non è sufficiente l'esistenza della derivata destra in \( a \) e della derivata sinistra in \( b \), poiché la derivata deve essere definita mediante il limite completo anche nei punti estremi dell'intervallo. Seguendo questa definizione, la funzione $ f(x)=|x| $ nell'intervallo \( [ 0,5 ] \) non sarebbe derivabile nel punto estremo \( 0 \) perché in tale punto la funzione non è derivabile.

La differenza principale è che la derivata in un punto descrive il comportamento della funzione in una posizione specifica, mentre la derivata in un intervallo descrive il comportamento in un insieme continuo di punti tramite una nuova funzione derivata.

Corollari sulle derivate

• Se la funzione è derivabile in x e la derivata f'(x) è un numero finito, allora la derivata sinistra e la derivata destra esistono e sono uguali alla derivata prima

  $$ se \:\: f'(x) = l \:\:\:\: \Rightarrow \:\:\:\:f'(x) = f'_-(x) = f_+(x) $$

  Viceversa, se la funzione non è derivabile in x, la derivata sinistra e la derivata destra potrebbero anche essere diverse o esisterne soltanto una.
• Criterio sufficiente di derivabilità
  Sia \( f(x) \) una funzione continua in \( x_0 \), derivabile in un intorno di \( x_0 \) tranne, eventualmente, nel punto stesso. Se \[ \lim_{x\to x_0^-}f'(x)=\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=l \] allora la funzione è derivabile in \( x_0 \) e \[ f'(x_0)=l.
  \] Si tratta di una condizione sufficiente, ma non necessaria, per la derivabilità della funzione. Esistono infatti funzioni derivabili per le quali il limite della derivata non esiste oppure non può essere applicato perché non sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema.

La notazione di Leibniz

Una delle notazioni matematiche più usate nel calcolo delle derivate è la notazione di Leibniz.

$$ \frac{dy}{dx} $$ oppure $$ \frac{δy}{δx} $$

Al numeratore è indicata la funzione ( codominio).

Al denominatore è indicata la variabile di derivazione ( dominio ), ossia quella per cui voglio derivare la funzione.

Nota. La notazione di Leibniz è utile quando la funzione è composta da diverse variabili ed è necessario specificare qual è la variabile di derivazione. Se la variabile di derivazione è soltanto una, consiglio di usare una notazione più sintetica come y''.

E così via