La derivata di una funzione
La definizione di derivata
La derivata di una funzione f(x) in un punto x è il limite del rapporto incrementale
Se il limite del rapporto incrementale della funzione per $ \Delta x \to 0 $ nel punto $ x $ esiste ed è un numero finito, la funzione è detta funzione derivabile in quel punto.
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = l \in \mathbb{R} $$
Viceversa, se il limite non esiste o è infinito, la funzione non è derivabile nel punto.
Il limite del rapporto incrementale è invece detto operazione di derivazione.
Esempio
Il valore del limite del rapporto incrementale è detta derivata prima e si indica con f'(x).
La derivata prima può essere indicata anche in altri modi o con altre notazioni
$$ f'(x)=Df=\frac{dy}{dx}=y' $$
Il simbolo dy/dx è detta notazione di Leibniz.
La derivata di una funzione rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto $ x $.
Nota. La derivata prima f'(x) è a tutti gli effetti un'altra funzione e a sua volta può essere derivata. La derivata della derivata è detta derivata seconda e si indica con f"(x) e così via.
Le condizioni della derivabilità
Una funzione è derivabile in un punto $ x $ se sono verificate le seguenti condizioni
- La funzione è definita in un intorno del punto $ x $
- Esiste il limite del rapporto incrementale per $ \Delta x \to x $ ed è un numero finito $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = l \in \mathbb{R} $$
Una funzione f(x) definita nell'intervallo (a,b) è una funzione derivabile in un punto x se esiste il limite del rapporto incrementale in x per h tendente a zero ed è un numero finito.
Una funzione è derivabile in un intervallo aperto (a,b) se è derivabile in ogni punto x compreso tra gli estremi a e b esclusi ossia x ∈ (a,b) .
Una funzione è derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in ogni punto x ∈ [a,b] e se esiste la derivata destra nel punto a e la derivata sinistra nel punto b.
I punti dove la funzione non è derivabile sono detti punti singolari.
Esempio di calcolo
Calcolo la derivata della funzione in un generico punto \( x \).
\[ f(x)=x^3-x \]
Per definizione, la derivata si calcola tramite il rapporto incrementale:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Per calcolare \( f(x+h) \) devo sostituire \( x+h \) al posto di ogni \( x \) presente nella funzione \( f(x)=x^3-x \).
\[ f(x + h ) = (x+h)^3-(x+h) \]
Sostituisco nella formula l'espressione della funzione \( f(x) \) e \( f(x + h ) \):
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^3-(x+h)]-(x^3-x)}{h} \]
Ora sviluppo il cubo \( (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \)
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x}{h} \]
Semplifico e ottengo
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h} \]
Tutti i termini del numeratore contengono \( h \), quindi possiamo raccoglierlo:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h} \]
Semplifico \( h \) al numeratore e al denominatore:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2-1) \]
Poiché il limite fa tendere \( h \) a zero, la derivata della funzione è:
\[f'(x)=3x^2-1 \]
Sostituendo a \( x \) i diversi valori del dominio della funzione, posso calcolare il valore della derivata in ciascun punto.
Come si può osservare nel grafico, la derivata descrive l’andamento del coefficiente angolare della tangente alla funzione.
In altre parole, la derivata \( f'(x) \) è positiva nei tratti in cui la funzione \( f(x) \) cresce e negativa nei tratti in cui la funzione decresce.
Nota. Quando la funzione \( f(x)=x^3-x \) è crescente, il coefficiente angolare della tangente è positivo. Di conseguenza, anche la derivata \( f'(x)=3x^2-1 \) assume valori positivi \( f'(x)>0 \). Viceversa, quando la funzione è decrescente, il coefficiente angolare della tangente è negativo e quindi anche la derivata assume valori negativi \( f'(x)<0 \)
La derivata sinistra e la derivata destra
Può comunque accadere che la funzione non sia derivabile nel punto x, ma lo sia negli altri punti a sinistra o a destra di x.
In questi casi i valori finiti dei limiti sono detti derivata sinistra e derivata destra di x.
Qual è la differenza?
Nella derivata sinistra l'incremento Δx tende a 0 da sinistra ed è un numero negativo Δx<0.
Nella derivata destra, invece, l'incremento Δx tende a 0 da destra ed è un numero positivo Δx>0.
Se una funzione è derivabile nel punto x allora la derivata destra e sinistra esistono e hanno lo stesso valore. $$ f'(x) = f'_-(x)=f'_+(x) $$
Un esempio pratico
Questa funzione non è definita per x=0
$$ \frac{1}{x} $$
Nel punto x=0 la funzione f(x) non è derivabile.
Quindi x=0 è un punto singolare della funzione f(x).
Tuttavia, in x=0 la funzione f(x) ha sia la derivata sinistra che la derivata destra.
Il limite della derivata sinistra tende a meno infinito
$$ f'_-(x) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} = - \infty $$
Il limite della derivata destra tende a più infinito
$$ f'_+(x) = \lim_{Δx \rightarrow 0^+} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} = + \infty $$
In questo modo posso studiare il comportamento della funzione anche nei punti in cui non è definita.
Corollari sulle derivate
- Se la funzione è derivabile in x e la derivata f'(x) è un numero finito, allora la derivata sinistra e la derivata destra esistono e sono uguali alla derivata prima
$$ se \:\: f'(x) = l \:\:\:\: \Rightarrow \:\:\:\:f'(x) = f'_-(x) = f_+(x) $$
Viceversa, se la funzione non è derivabile in x, la derivata sinistra e la derivata destra potrebbero anche essere diverse o esisterne soltanto una.
La notazione di Leibniz
Una delle notazioni matematiche più usate nel calcolo delle derivate è la notazione di Leibniz.
$$ \frac{dy}{dx} $$ oppure $$ \frac{δy}{δx} $$
Al numeratore è indicata la funzione ( codominio).
Al denominatore è indicata la variabile di derivazione ( dominio ), ossia quella per cui voglio derivare la funzione.
Nota. La notazione di Leibniz è utile quando la funzione è composta da diverse variabili ed è necessario specificare qual è la variabile di derivazione. Se la variabile di derivazione è soltanto una, consiglio di usare una notazione più sintetica come y''.
E così via
