La differenza tra funzioni e applicazioni

In generale, le applicazioni sono solo un altro modo per dire funzioni in matematica. Il concetto è lo stesso, cambia solo come lo chiamo in base al contesto.

Perché si usa "applicazione" in certi casi?

I due termini si usano in modo quasi interscambiabile, ma c'è un sottile "distinguo" che occorre tenere a mente:

• Funzione (focus sull'associazione)
  Il termine "funzione" è usato in generale per indicare la relazione che associa un elemento del dominio a un elemento del codominio, senza badare troppo a chi sta usando questa relazione o come.

  Ad esempio, quando scrivo: $$ f(x) = x^2 $$ mi sto focalizzando sull'operazione \( x \to x^2 \). Tutto qui.

• Applicazione (focus sull'azione)
  Il termine "applicazione" viene usato per enfatizzare il fatto che una funzione sta "agendo" su elementi di un insieme per trasformarli in altri. È più comune in contesti strutturati, tipo algebra lineare, algebra astratta, topologia o fisica.

  Ad esempio, se scrivo $$ T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \ \ \text{con} \ \  T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} $$ sto chiaramente indicando un'azione di trasformazione di un vettore tramite una matrice \( A \). Sottolinea che sto lavorando con spazi strutturati, tipo vettoriali, topologici o altro. Inoltre, mi permette di includere altre proprietà specifiche (come linearità, continuità, ecc.) che in "funzione" sono sottintese.

In conclusione un'applicazione è una funzione, solo che viene chiamata così in contesti più specifici.

La differenza tra function e map in inglese

Il discorso cambia se il testo è scritto in lingua inglese.

Questa distinzione tra "funzione" e "applicazione" che noi italiani ogni tanto ci impuntiamo a fare, in inglese è così sfumata che neanche ci badano.

In inglese si parla più che altro di function e map.

• Function
  È il termine più generico ed è usatissimo. Ogni volta che si parla di una relazione che associa elementi di un insieme a quelli di un altro, il termine standard è "function". Non importa se si parla di analisi matematica, algebra o topologia, "function" è quello che si usa per la maggior parte delle situazioni.
• Map
  In inglese, il termine "map" viene usato in alcuni contesti per sottolineare il fatto che stai "mappando" un elemento del dominio a uno del codominio, enfatizzando l'azione. È più o meno quello che noi chiamiamo "applicazione".

  Ad esempio in algebra lineare, dicono "linear map" invece di "linear application". In geometria differenziale o topologia, parlano di "continuous map".

Questi due termini coprono praticamente tutto, senza tanti drammi o distinzioni accademiche.

Però attenzione: non è una distinzione rigida. Spesso si usano "function" e "map" come sinonimi, dipende un po' dalla preferenza del matematico.

In ogni caso, il termine "application" in inglese si usa pochissimo per parlare di funzioni o mappe. Spesso si riferisce a un'applicazione pratica o un utilizzo (tipo "the application of linear algebra in physics"). Non è usato come sinonimo tecnico di funzione.

E così via.