Funzioni pari

Cos'è una funzione pari

Una funzione è detta funzione pari se per qualunque x del suo dominio vale $$ f(x)=f(-x) \ \ \ \forall \ x \ \in D $$

Se una funzione è pari allora il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate y, perché a ogni punto P(x,y) è associato un punto P(-x,y).

Come verificare se una funzione è pari?

• Dal punto di vista analitico calcolo la funzione f(-x) rispetto al valore opposto -x dell'incognita e confronto il risultato con f(x). Se i valori coincidono, la funzione è pari. $$ f(-x) = f(x) $$

  Esempio. Considero la funzione f(x)=x². Sostituisco la x con il suo opposto -x e verifico se ottengo la funzione f(x). $$ f(-x)=(-x)^2 = x^2 = f(x) $$ L'espressione f(-x) coincide con f(x). Quindi, la funzione è pari.

• Dal punto di vista grafico mi basta osservare se la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.
  

  

Nota. Se una funzione non è pari, non è detto che sia dispari. E viceversa. Ad esempio, la funzione f(x)=x²+x non è né pari, né dispari.

Un esempio pratico

Un esempio di funzione pari è la funzione coseno

Per qualunque x del dominio del coseno vale la relazione f(x)=-f(x) e il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Nota. Ad esempio, in x=1 e x=-1 la funzione coseno ha lo stesso valore ossia f(1)=f(-1). E così via.

Esempio 2

Un altro esempio di funzione pari è la funzione x².

$$ f(x) = x^2 $$ $$ f(-x)=(-x)^2 = x^2 $$

Anche in questo caso per qualsiasi valore del dominio vale l'uguaglianza f(x)=f(-x)

Nota. In generale se una funzione ha soltanto potenze di x con esponente pari, allora la funzione è pari

Esempio 3

Devo verificare analiticamente se questa funzione è pari

$$ f(x) = x^2+x $$

Sostituisco la x con il suo opposto -x nell'espressione della funzione f(x)

$$ f(-x) = (-x)^2+(-x) = x^2 - x $$

Il risultato è diverso dalla funzione f(x)=x²+x

Quindi la funzione non è una funzione pari.

Nota. La funzione f(x)=x²+x non è nemmeno una funzione dispari.

E così via.