Il dominio di una funzione
Il dominio di una funzione o relazione è l'insieme A $$ f:A \rightarrow B $$
Il dominio è l'insieme di partenza della funzione.
L'insieme B è l'insieme di arrivo ed è detto codominio della funzione
La differenza tra dominio e insieme di definizione
Gli elementi dell'insieme A (dominio) che hanno almeno un'immagine nell'insieme B (codominio) tramite la funzione, formano un sottoinsieme detto insieme di definizione o campo di esistenza della funzione f.
Pertanto, in generale il dominio non corrisponde all'insieme di definizione.
$$ f: D(f) \subseteq A \rightarrow B $$
Il dominio è uno spazio che include l'insieme di definizione.
Nota. In letteratura si trova anche un'altra accezione di dominio, in base alla quale il dominio è l'insieme degli elementi di A che hanno almeno un'immagine in B tramite la relazione R. In quest'altra accezione il dominio corrisponde al campo di definizione.
Un esempio pratico
Condidero due insiemi finiti X e Y
$$ X = \{1,2,3,4,5 \} $$
$$ Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $$
e la relazione/funzione
$$ f: y = x^2 $$
Il dominio della relazione è l'insieme X
$$ \text{dom(X)} = \{1,2,3,4,5 \} $$
L'insieme di definizione è un sottoinsieme del dominio
$$ D_f = \{1,2,3 \} \subseteq X $$
Sono gli elementi di X il cui quadrato è un elemento dell'insieme Y detto codominio di f.
$$ f: 1^2 \rightarrow 1 $$
$$ f: 2^2 \rightarrow 4 $$
$$ f: 3^2 \rightarrow 9 $$
Esempio 2
Considero la funzione reale
$$ f: y = \sin(x) $$
Sia il dominio che il codominio corrispondono all'insieme dei numeri reali
$$ f: R \rightarrow R $$
In questo caso l'insieme di definizione è uguale al dominio perché la funzione y=sin(x) è definita in tutto l'insieme dei numeri reali (R).
E così via.
