Le funzioni inversamente proporzionali
Una funzione è inversamente proporzionale se può essere scritta nella forma $$ y = \frac{k}{x} $$ dove k è una costante reale diversa da zero (k≠0)
Le variabili x e y sono dette inversamente proporzionali perché il loro prodotto è costante.
$$ y = \frac{k}{x} $$
Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri dell'equazione per x
$$ y \cdot x = \frac{k}{x} \cdot x $$
Il prodotto xy è costante ed è uguale a k
$$ y \cdot x = k $$
Ad esempio, se una delle due variabili raddoppia, l'altra deve necessariamente dimezzarsi per mantenere costante il prodotto xy.
Il prodotto è sempre costante per qualsiasi valore di x diverso da zero, perché in x=0 la funzione non è definita (divisione per zero).
$$ y = \frac{k}{x} $$
Nota. Il grafico di una funzione inversamente proporzionale è una iperbole equilatera. In qualsiasi punto del grafico il rettangolo ottenuto dalle proiezioni sugli assi ha la stessa area.
Un esempio pratico
Considero questa funzione
$$ y = \frac{20}{x} $$
Devo verificare se soddisfa la proporzionalità inversa.
Calcolo la tabella dei valori x e y e il relativo prodotto.
$$ \begin{array}{c|c} x & y & x \cdot y \\ \hline -2 & -10 & 20 \\ -1 & -20 & 20 \\ 0 & ind & ind \\ 1 & 20 & 20 \\ 2 & 10 & 20 \\ 4 & 5 & 20 \end{array} $$
Il prodotto è costante per ogni coppia x e y con x≠0.
Pertanto, la funzione y=20/x è una funzione inversamente proporzionale.
E così via.
