Il teorema di Bolzano
Secondo il teorema di esistenza degli zeri ( o teorema di Bolzano) in una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] con f(a)<0 e f(b)>0 esiste un punto intermedio x0 in (a,b) tale che f(x0)=0 ossia esiste una radice.
Il teorema vale anche se f(a)<0 e f(b)>0.
Per la validità del teorema, l'importante è che la funzione abbia un segno diverso ai suoi estremi f(a) e f(b).
Un esempio pratico
Prendo in considerazione la funzione
$$ f(x) = x+1 $$
nell'intervallo chiuso [-2,+2].
Nel punto intermedio x0=-1 la funzione è uguale a zero.
$$ f(-1)=0 $$
E' un semplice esempio ma fa chiarezza sul significato del teorema.
La dimostrazione con spiegazione
Ho una funzione f(x) continua in [a,b].
Agli estremi la funzione assume un segno discorde.
$$ f(a)<0 $$
$$ f(b)>0 $$
Prendo in considerazione un punto c in mezzo all'intervallo [a,b]
$$ c=\frac{a+b}{2} $$
Esempio. Prendo in considerazione l'esempio precedente. La funzione f(x)=x+1 è definita nell'intervallo [-2,2]. Dove f(a)=f(-2)=1 mentre f(b)=f(2)=3. Nel punto intermedio c=0 la funzione assume il valore f(c)=f(0)=1.
Ora analizzo il valore della funzione f(x) nel punto intermedio c
- Se f(c) è maggiore di zero $$ f(c)>0 $$ la funzione ha un segno discorde rispetto a f(a)<0. Prendo in considerazione l'intervallo [a,c]. $$ [a_1,b_1]=[a,c] $$ Poi cerco il suo punto intermedio. $$ c_2 = \frac{a_1+c_1}{2} $$ E via dicendo
- Se f(c) è minore di zero $$ f(c)<0 $$ la funzione ha un segno concorde rispetto a f(a)<0. Prendo in considerazione l'intervallo [c,b]. $$ [a_1,b_1]=[c,b] $$ Poi cerco il suo punto intermedio $$ c_2 = \frac{c_1+b_1}{2} $$ E via dicendo
Esempio. Nell'esempio precedente f(c)=1 ossia f(c)>0. Quindi, prendo come nuovo intervallo [a1,b1]=[a,c]. Poi individuo un nuovo punto intermedio c1.
Ripeto l'operazione per n volte finché f(c)=0 ossia fin quando non incontro una radice. Quando f(c)=0 l'iterazione si interrompe.
Così facendo ottendo tre successioni
$$ a_n , b_n, c_n $$
Fin quando f(c)≠0 il segno della funzione è
$$ f(a_n) <0 $$ $$ f(b_n)>0 $$
Dopo ogni iterazione la lunghezza dell'intervallo [an,bn] si dimezza.
$$ b_1-a_1 = \frac{b-a}{2} $$
$$ b_2-a_2 = \frac{b-a}{2^2} $$
$$ \vdots $$
Quindi dopo n iterazioni la lunghezza dell'intervallo è
$$ b_n-a_n = \frac{b-a}{2^n} $$
La successione an è sicuramente crescente perché
$$ a_1 \le a_2 \le ... \le a_n $$
Inoltre la successione an è limitata perché è contenuta nell'intervallo [a,b].
Essendo crescente e limitata, per il teorema del limite delle successioni monotone, la successione an ha un limite finito che chiamo x0.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = x_0 $$
La successione bn la calcolo indirettamente dall'espressione precedente.
$$ b_n-a_n = \frac{b-a}{2^n} $$
$$ b_n = a_n + \frac{b-a}{2^n} $$
Il limite della successione bn è uguale al limite della successione an perché il rapporto b-a/2n tende a zero.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n + \frac{b-a}{2^n} = x_0 $$
Quindi, entrambe le successioni an e bn convergono a x0 per n che tende a infinito.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = x_0 $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = x_0 $$
La successione an è un'approssimazione per difetto di x0 mentre la successione bn è un'approssimazione per eccesso di x0.
$$ a_n \le x_0 \le b_n $$
Il valore della funzione f(x) nel punto x0 è approssimabile al limite delle successioni an e bn per n che tende a infinito.
$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(a_n) $$
$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(b_n) $$
Tuttavia, la prima è un'approssimazione per difetto di f(x0) mentre la seconda è un'approssimazione per eccesso di f(x0).
Sapendo che f(an)≤0 e f(bn)≥0.
$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(a_n) \le 0 $$
$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(b_n) \ge 0 $$
Quindi, il valore della funzione f(x0) deve essere uguale a zero
$$ f(x_0) = 0 $$
Questo dimostra il teorema di esistenza degli zeri.
E così via.