Il teorema di Bolzano

Secondo il teorema degli zeri (o teorema di Teorema di Bolzano), se una funzione \( f(x) \) è continua e limitata in un intervallo chiuso \( [a,b] \) e assume valori di segno opposto agli estremi, cioè \( f(a)<0 \) e \( f(b)>0 \), allora esiste almeno un punto \( x_0 \) nell’intervallo aperto \( (a,b) \) tale che \( f(x_0)=0 \), ossia la funzione ammette almeno una radice.

Il teorema vale anche nel caso inverso, quando \( f(a)>0 \) e \( f(b)<0 \).

Per la validità del teorema, l'importante è che la funzione abbia un segno diverso ai suoi estremi \( f(a) \) e \( f(b) \).

Nota. Il teorema di Bolzano garantisce l'esistenza di almeno uno zero nell'intervallo \((a,b)\), ma non la sua unicità. In altre parole, potrebbero esistere due o più punti in cui la funzione si annulla. Per garantire l'unicità dello zero devo imporre un'ulteriore condizione. Per un approfondimento rimando alla pagina dedicata ai teoremi di unicità degli zeri.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione la funzione

$$ f(x) = x+1 $$

nell'intervallo chiuso [-2,+2].

Nel punto intermedio x₀=-1 la funzione è uguale a zero.

$$ f(-1)=0 $$

E' un semplice esempio ma fa chiarezza sul significato del teorema.

La dimostrazione con spiegazione

Ho una funzione f(x) continua in [a,b].

Agli estremi la funzione assume un segno discorde.

$$ f(a)<0 $$

$$ f(b)>0 $$

Prendo in considerazione un punto c in mezzo all'intervallo [a,b]

$$ c=\frac{a+b}{2} $$

Esempio. Prendo in considerazione l'esempio precedente. La funzione f(x)=x+1 è definita nell'intervallo [-2,2]. Dove f(a)=f(-2)=1 mentre f(b)=f(2)=3. Nel punto intermedio c=0 la funzione assume il valore f(c)=f(0)=1.

Ora analizzo il valore della funzione f(x) nel punto intermedio c

• Se f(c) è maggiore di zero $$ f(c)>0 $$ la funzione ha un segno discorde rispetto a f(a)<0. Prendo in considerazione l'intervallo [a,c]. $$ [a_1,b_1]=[a,c] $$ Poi cerco il suo punto intermedio. $$ c_2 = \frac{a_1+c_1}{2} $$ E via dicendo
• Se f(c) è minore di zero $$ f(c)<0 $$ la funzione ha un segno concorde rispetto a f(a)<0. Prendo in considerazione l'intervallo [c,b]. $$ [a_1,b_1]=[c,b] $$ Poi cerco il suo punto intermedio $$ c_2 = \frac{c_1+b_1}{2} $$ E via dicendo

Esempio. Nell'esempio precedente f(c)=1 ossia f(c)>0. Quindi, prendo come nuovo intervallo [a₁,b_1]=[a,c]. Poi individuo un nuovo punto intermedio c₁.

Ripeto l'operazione per n volte finché f(c)=0 ossia fin quando non incontro una radice. Quando f(c)=0 l'iterazione si interrompe.

Così facendo ottendo tre successioni

$$ a_n , b_n, c_n $$

Fin quando f(c)≠0 il segno della funzione è

$$ f(a_n) <0 $$ $$ f(b_n)>0 $$

Dopo ogni iterazione la lunghezza dell'intervallo [a_n,b_n] si dimezza.

$$ b_1-a_1 = \frac{b-a}{2} $$

$$ b_2-a_2 = \frac{b-a}{2^2} $$

$$ \vdots $$

Quindi dopo n iterazioni la lunghezza dell'intervallo è

$$ b_n-a_n = \frac{b-a}{2^n} $$

La successione a_n è sicuramente crescente perché

$$ a_1 \le a_2 \le ... \le a_n $$

Inoltre la successione a_n è limitata perché è contenuta nell'intervallo [a,b].

Essendo crescente e limitata, per il teorema del limite delle successioni monotone, la successione a_n ha un limite finito che chiamo x₀.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = x_0 $$

La successione b_n la calcolo indirettamente dall'espressione precedente.

$$ b_n-a_n = \frac{b-a}{2^n} $$

$$ b_n = a_n + \frac{b-a}{2^n} $$

Il limite della successione b_n è uguale al limite della successione a_n perché il rapporto b-a/2ⁿ tende a zero.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n + \frac{b-a}{2^n} = x_0 $$

Quindi, entrambe le successioni a_n e b_n convergono a x₀ per n che tende a infinito.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = x_0 $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = x_0 $$

La successione a_n è un'approssimazione per difetto di x₀ mentre la successione b_n è un'approssimazione per eccesso di x₀.

$$ a_n \le x_0 \le b_n $$

Il valore della funzione f(x) nel punto x₀ è approssimabile al limite delle successioni a_n e b_n per n che tende a infinito.

$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(a_n) $$

$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(b_n) $$

Tuttavia, la prima è un'approssimazione per difetto di f(x₀) mentre la seconda è un'approssimazione per eccesso di f(x₀).

Sapendo che f(a_n)≤0 e f(b_n)≥0.

$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(a_n) \le 0 $$

$$ f(x_0) = \lim_{n \rightarrow ∞} f(b_n) \ge 0 $$

Quindi, il valore della funzione f(x₀) deve essere uguale a zero

$$ f(x_0) = 0 $$

Questo dimostra il teorema di esistenza degli zeri.

E così via.