Gli infinitesimi in matematica
Cos'è un infinitesimo
In matematica un infinitesimo è una grandezza infinitamente piccola. Il concetto di infinitesimo venne introdotto da Leibniz ed è alla base del calcolo infinitesimale. E' anche detto "o piccolo"
La funzione infinitesima
Una funzione è detta funzione infinitesima in x0 se il limite della funzione f(x) tende a zero per x che tende a x0. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =0 $$
Spesso una funzione infinitesima è indicata semplicemente con il termine infinitesimo.
Un esempio pratico
Questa funzione è infinitesima per x che tende a zero.
$$ f(x) = x^3 $$
Nell'intorno del punto x0 la funzione f(x) è non nulla.
Il limite della funzione per x che tende a x0 è nullo.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
Quindi, la funzione f(x) è una funzione infinitesima per x che tende a zero.
Gli infinitesimi di ordine superiore
Date due funzioni f(x) e g(x) definite nell'intorno del punto x0 (con eventuale eccezione del punto x0) e non nulle per x≠x0, la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende a x0 se $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0 $$
Le funzioni infinitesime possono essere ordinate per un confronto diretto, come accade per le funzione infinite.
Quando due funzioni f(x) e g(x) tendono a zero per x→x0, la funzione infinitesima che si avvicina a zero più velocemente dell'altra è detta infinitesimo di ordine superiore.
Di conseguenza la g(x) è detta infinitesimo di ordine inferiore rispetto alla f(x) per per x→x0.
In questo caso il limite del rapporto g(x)/f(x) tende a infinito.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} =∞ $$
Nota. L'ordine degli infinitesimi si può calcolare solo se le funzioni infinitesime per x→x0 sono confrontabili. Se il limite del rapporto f(x)/g(x) è un numero finito diverso da zero, le funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} =l $$
Gli infinitesimi di ordine superiore sono strettamente legati al concetto matematico di o piccolo.
Un esempio pratico
Ho due funzioni infinitesime f(x) e g(x) per x che tende a zero
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
Entrambe le funzioni sono funzioni infinitesime perché il rispettivo limite è nullo per x che tende a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^2 = 0 $$
Tuttavia, l'ordine dell'infinitesimo è diverso.
Basta guardare il grafico delle funzioni per rendersene conto.
Nota. Nell'intorno di x0=0 la funzione f(x)=x3 (rossa) è molto più vicina all'asse delle ascisse, ossia a zero, rispetto alla funzione g(x)=x2 (blu).
Se la funzione f(x) tende a zero più velocemente della g(x) per x→0 allora anche il limite del rapporto f(x)/g(x) per x→0 tende a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ x^3 }{ x^2 } = \lim_{x \rightarrow x_0} x = 0 $$
Quindi la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla funzione g(x) per x→0.
Cosa significa o piccolo
Se la funzione f(x) è una funzione infinitesima di ordine superiore per x→x0 rispetto alla funzione g(x), si può indicare anche con il simbolo o() detto o piccolo $$ f(x)=o(g(x)) \:\:\: per \: x \rightarrow x_0 $$
Esempio pratico
Ho due funzioni infinitesime per x che tende a zero
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
La funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende a zero
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$
Posso indicare questa relazione con il simbolo o() piccolo.
$$ f(x)=o(g(x)) \:\:\: per \: x \rightarrow x_0 $$
Si dice che f(x) è un "o piccolo" di g(x).
E così via.
