Gli infinitesimi in matematica
Cos'è un infinitesimo
In matematica un infinitesimo è una grandezza infinitamente piccola. Il concetto di infinitesimo venne introdotto da Leibniz ed è alla base del calcolo infinitesimale. E' anche detto "o piccolo"
La funzione infinitesima
Una funzione è detta funzione infinitesima in x0 se il limite della funzione f(x) tende a zero per x che tende a x0. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =0 $$
Spesso una funzione infinitesima è indicata semplicemente con il termine infinitesimo.
Un esempio pratico
Questa funzione è infinitesima per x che tende a zero.
$$ f(x) = x^3 $$
Nell'intorno del punto x0 la funzione f(x) è non nulla.
Il limite della funzione per x che tende a x0 è nullo.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
Quindi, la funzione f(x) è una funzione infinitesima per x che tende a zero.
Esempio 2
Questa funzione è un infinitesimo per $ x $ che tende a più o meno infinito.
Infatti, quando $ x \to \infty $ il limite della funzione è zero.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0 $$
Lo stesso accade quando $ x \to - \infty $
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0 $$
In questo caso, guardando il grafico, la funzione si avvicina allo zero senza mai toccarlo.
Gli infinitesimi di ordine superiore
Date due funzioni f(x) e g(x) infintesime per $ x \to x_0 $, definite nell'intorno del punto x0 (con eventuale eccezione del punto x0) e non nulle per x≠x0, la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende a x0 se $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0 $$ In altre parole, la funzione $ f(x) $ si avvicina più velocemente a zero rispetto a $ g(x) $.
Le funzioni infinitesime possono essere ordinate per un confronto diretto, come accade per le funzione infinite.
Quando due funzioni f(x) e g(x) tendono a zero per x→x0, la funzione infinitesima che si avvicina a zero più velocemente dell'altra è detta infinitesimo di ordine superiore.
Di conseguenza la g(x) è detta infinitesimo di ordine inferiore rispetto alla f(x) per per x→x0.
In questo caso il limite del rapporto g(x)/f(x) tende a infinito.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \pm ∞ $$
Nota. L'ordine degli infinitesimi si può calcolare solo se le funzioni infinitesime per x→x0 sono confrontabili. Se il limite del rapporto f(x)/g(x) è un numero finito diverso da zero, le funzioni sono infinitesimi dello stesso ordine. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} =l $$
Gli infinitesimi di ordine superiore sono strettamente legati al concetto matematico di o piccolo.
Un esempio pratico
Ho due funzioni infinitesime f(x) e g(x) per x che tende a zero
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
Entrambe le funzioni sono funzioni infinitesime perché il rispettivo limite è nullo per x che tende a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^2 = 0 $$
Tuttavia, l'ordine dell'infinitesimo è diverso.
Basta guardare il grafico delle funzioni per rendersene conto.
Nota. Nell'intorno di x0=0 la funzione f(x)=x3 (rossa) è molto più vicina all'asse delle ascisse, ossia a zero, rispetto alla funzione g(x)=x2 (blu).
Se la funzione f(x) tende a zero più velocemente della g(x) per x→0 allora anche il limite del rapporto f(x)/g(x) per x→0 tende a zero.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ x^3 }{ x^2 } = \lim_{x \rightarrow x_0} x = 0 $$
Quindi la funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla funzione g(x) per x→0.
Cosa significa o piccolo
Se la funzione f(x) è una funzione infinitesima di ordine superiore per x→x0 rispetto alla funzione g(x), si può indicare anche con il simbolo o() detto o piccolo $$ f(x)=o(g(x)) \:\:\: per \: x \rightarrow x_0 $$
Esempio pratico
Ho due funzioni infinitesime per x che tende a zero
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
La funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) per x che tende a zero
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$
Posso indicare questa relazione con il simbolo o() piccolo.
$$ f(x)=o(g(x)) \:\:\: per \: x \rightarrow x_0 $$
Si dice che f(x) è un "o piccolo" di g(x).
L'ordine di un infinitesimo
L’ordine di un infinitesimo misura quanto velocemente una funzione tende a zero rispetto a un’altra funzione di riferimento.
Dati due infinitesimi \( f(x) \) e \( g(x) \), per \( x \to \alpha \), si dice che \( f(x) \) è un infinitesimo di ordine \( \gamma > 0 \) rispetto a \( g(x) \) se esiste il limite finito $ l $ e non nullo: \[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = l \neq 0 \] Dove \( g(x) \) è detto infinitesimo campione e \( f(x) \) si comporta come \( [g(x)]^\gamma \)
In altre parole, l’ordine di infinitesimo indica quante volte più velocemente \( f(x) \) si annulla rispetto a \( g(x) \).
L’ordine \( \gamma \) descrive la velocità di annullamento:
- Se \( \gamma = 1 \) sono infinitesimi dello stesso ordine
- Se \( \gamma > 1 \) l'infinitesimo \( f(x) \) si annulla più velocemente.
- Se \( 0 < \gamma < 1 \) l'infinitesimo \( f(x) \) si annulla più lentamente.
Nella pratica si utilizzano come infinitesimi campione degli infinitesimi standard per confrontare le funzioni.
- Se \( x \to x_0 \) si utilizza \( g(x) = x - x_0 \) come infinitesimo campione.
- Se \( x \to \pm \infty \) si utilizza \( g(x) = \frac{1}{x} \) come infinitesimo campione.
Questo permette di confrontare facilmente gli infinitesimi senza dover sceglier
Nota. Quando non è specificato diversamente, l’ordine si intende sempre rispetto agli infinitesimi campione standard. Questo rende i risultati confrontabili e uniformi nello studio dei limiti.
Esempio
Considero la funzione seguente
\[ f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^5} \]
Questa funzione è un infinitesimo per \( x \to +\infty \)
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} = 0 $$
Determino l'ordine di infinitesimo \( \gamma \) rispetto all'infinitesimo standard \( g(x) = \frac{1}{x} \)
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{ [ g(x) ]^\gamma} = l \neq 0 \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{ \frac{2x^2 + 1}{x^5} }{\left(\frac{1}{x}\right)^\gamma} = l \neq 0 \]
Svolgo alcuni passaggi algebrici
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} \cdot x^{\gamma} \]
Per ottenere un limite finito e diverso da zero, è necessario che le potenze dominanti al numeratore e al denominatore si compensino.
In questo caso, moltiplicando per \( x^\gamma \), questa compensazione si verifica quando \( \gamma = 3 \).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} \cdot x^{3} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2} \]
Ora le potenze dominanti al numeratore e al denominatore hanno lo stesso ordine.
Per calcolare il limite separo i termini e semplifico.
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} 2 + \frac{1}{x^2} \]
Poiché il secondo termine si annulla per $ x \to \infty $, il limite è 2.
\[ \lim_{x \to +\infty} 2 + \frac{1}{x^2} = 2 \ne 0 \]
In questo modo ho ottenuto un limite finito e diverso da zero.
Concludendo, la funzione $ f(x) $ è un infinitesimo di ordine \( \gamma=3 \) rispetto all'infinitesimo campione $ g(x) = \frac{1}{x} $.
Gli infinitesimi equivalenti
Due funzioni infinitesime \( f(x) \) e \( g(x) \), per \( x \to \alpha \), si dicono equivalenti se il loro rapporto tende a 1: \[\lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \] In tal caso si scrive: \[ f(x) \sim g(x) \] Il simbolo \( \sim \) indica una uguaglianza asintotica.
Dire che due infinitesimi sono equivalenti significa che tendono a zero nello stesso modo.
In questi casi il rapporto tra gli infinitesimi è sempre più vicino a 1 quando \( x \to \alpha \). Questa proprietà implica che hanno lo stesso ordine di infinitesimo.
In altre parole, vicino al punto \( \alpha \), le due funzioni sono quasi indistinguibili dal punto di vista del limite.
Ad esempio, considero il limite \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] Quando \( x \) è molto piccolo (ad esempio \( x = 0.01 \)) la funzione seno vale \( \sin(0.01) \approx 0.0099998 \) e il valore di $ x $ è \( x = 0.01 \). I due valori sono praticamente uguali. Quindi, vicino a zero, posso sostituire \( \sin x \sim x \). Questa è l’idea operativa degli infinitesimi equivalenti.
Se \( f(x) \sim g(x) \), allora una delle due funzioni può essere vista come parte principale dell’altra.
Questo significa che \( g(x) \) approssima \( f(x) \) vicino al punto e gli altri termini (se presenti) diventano trascurabili.
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Se due funzioni sono infinitesimi equivalenti, cioè \( f(x) \sim h(x) \) per \( x \to x_0 \) allora, nel calcolo dei limiti, è possibile sostituire un infinitesimo con un altro equivalente. In particolare, se esiste il limite \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} \]
Questo principio mi consente di semplificare il calcolo dei limiti complessi, evitare sviluppi lunghi e individuare subito il comportamento dominante.
In pratica, sostituisco delle funzioni complicate con altre più semplici ma asintoticamente equivalenti.
Nota. Per \( x \to 0 \), alcuni infinitesimi equivalenti molto importanti nel calcolo dei limiti sono: \[ \sin x \sim x \] \[ \ln(1+x) \sim x \] \[ e^x - 1 \sim x \]
Esempio pratico nel calcolo dei limiti
Calcolo il limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]
Uso l’equivalenza \( \sin x \sim x \) e sostituisco la funzione nel limite
\[ \frac{\sin x}{x} \sim \frac{x}{x} = 1 \]
Quindi, anche il limite iniziale tende allo stesso valore.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
In questo modo, ho risolto il problema sostituendo la funzione complessa con una più semplice da calcolare.
Esempio 2
Considero il limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} \]
Uso le equivalenze \( e^x - 1 \sim x \) e \( \sin x \sim x \). Sostituisco:
\[ \frac{e^x - 1}{\sin x} \sim \frac{x}{x} = 1 \]
Quindi, il limite iniziale tende a 1 quando $ x \to 0 $.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1 \]
E così via.
