Gli asintoti

Cosa sono gli asintoti

In matematica un asintoto è una retta (o una curva) che si avvicina al grafico della funzione f(x) in modo indefinito quando la variabile indipendente x tende a più o meno infinito oppure a un valore finito.

Più precisamente, una retta è un asintoto se la distanza tra un punto del grafico della funzione e la retta tende a 0 quando la variabile indipendente  x tende a infinito oppure a un valore finito.

In altre parole, il grafico si avvicina sempre più alla retta, fino a diventare arbitrariamente vicino.

• Se l'asintoto è una retta si parla di retta asintotica.
• Se l'asintoto è una curva si parla di curva asintotica.

In analisi matematica, nello studio di una funzione f(x) esistono tre tipologie di asintoti: orizzontali, verticali e obliqui.

L'asintoto orizzontale

L'asintoto orizzontale si calcola con il limite della funzione per x tendente a +∞ o -∞

$$ \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) = c $$

L'asintoto orizzontale esiste se il limite esiste ed è un numero reale finito.

Ecco un esempio pratico di asintoto orizzontale.

In pratica, l'asintoto orizzontale è una retta parallela o coincidente all'asse dell'ascisse.

Ovviamente gli asintoti orizzontali per x tendente a +∞ e a -∞ possono anche non coincidere.

Esempio

Devo calcolare gli asintoti orizzontali della funzione

$$ f(x) = \frac{x+1}{x} $$

Calcolo il limite per x tendente a +∞

$$ \lim_{x \rightarrow +∞ }\frac{x+1}{x} = 1 $$

Quindi, la funzione ha un asintoto orizzontale in y=1 per x→+∞

Nota. E' una forma indeterminata di limite ∞/∞ che si risolve facilmente con il teorema di L'Hopital.

Ora calcolo il limite per x tendente a -∞

$$ \lim_{x \rightarrow -∞ }\frac{x+1}{x} = 1 $$

Pertanto, la funzione ha un asintoto orizzontale in y=1 per x→-∞

 

L'asintoto verticale

L'asintoto verticale si calcola nei punti in cui la funzione non è definita con il limite per x tendente x₀ da destra e da sinistra. $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+ } f(x) = ±∞ $$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0^- } f(x) = ±∞ $$ Dove x₀ è un punto in cui la funzione non è definita.

L'asintoto verticale esiste in x₀ se il limite è più o meno infinito.

Ecco un esempio pratico di asintoto verticale.

In pratica, l'asintoto verticale è una retta parallela o coincidente all'asse delle ordinate.

Esempio

Devo verificare se la funzione ha asintoti verticali

$$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$

La funzione è indefinita per x=1.

Quindi, calcolo il limite per x₀=1 da destra e da sinistra.

$$ \lim_{x \rightarrow 1^+ } \frac{x^2}{x-1} = +∞ $$

$$ \lim_{x \rightarrow 1^- } \frac{x^2}{x-1} = -∞ $$

Ho così trovato l'asintoto verticale in x₀=1

L'asintoto obliquo

L'asintoto obliquo esiste se il limite per x tendente a +∞ o -∞ della differenza tra la funzione $ f(x) $ e la retta $ y=mx+q $ è uguale a zero $$ \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$ Se il grafico della funzione ha un asintoto obliquo con equazione $ y=mx+q $, allora il coefficiente angolare $ m \ne 0 $ e l'intercetta $ q $ hanno i seguenti valori finiti $$ m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $$ $$ q = \lim_{x \to \infty} [ f(x) - mx ] $$

Ecco un esempio pratico di asintoto obliquo

Per verificare l'esistenza di un asintoto obliquo per x tendente a +∞, individuo il coefficiente angolare m della retta.

$$ m = \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} \ne 0 $$

Dimostrazione. Se $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$ per determinare il coefficiente angolare annullo il termine noto q=0. $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx = 0 $$ Essendo il limite uguale a zero per x→∞, non cambia se divido tutto per x. $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x) - mx}{x} = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} - m = 0 $$ Poiché $ m $ è una costante (non dipende da $ x $) può uscire dal limite $$ ( \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} ) - m = 0 $$ Infine, ricavo $ m $ con un semplice passaggio algebrico. Sommo $ m $ in entrambi i membri dell'equazione. $$ ( \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} ) - m \color{red}{+ m} = 0 \color{red}{+ m} $$ In questo modo ottengo il coefficiente angolare della retta $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } \frac{f(x)}{x} = m $$ Come volevasi dimostrare.

Se il coefficiente angolare m esiste ed è diverso da zero, calcolo un secondo limite per individuare il termine noto q della retta.$$ \begin{array}{cccc|cc} x^3 & +2x^2 & 0x & -1   & x^2 & +1  \\  -x^3 &  & -x &   & x +2 \\ \hline  & 2x^2 & -x & \\  & -2x^2 & & -2 \\  &  & -x & -3 \end{array} $$

$$ q= \lim_{x \rightarrow ±∞ } f(x) - mx \ne ∞ $$

Dimostrazione. Se $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - (mx+q) = 0 $$ allora $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx - q = 0 $$ Poiché $ q $ è una costante, posso farla uscire dal limite  $$ [ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx ] - q = 0 $$ Applico la proprietà invariantiva delle equazioni sommando $ q $ in entrambi i membri $$ [ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx ] - q \color{red}{+ q} = 0 \color{red}{+ q} $$ In questo modo ricavo $ q $, ossia l'intercetta con l'asse $ y $ $$ \lim_{x \rightarrow +∞ } f(x) - mx = q $$ Come volevasi dimostrare

Se il termine noto q esiste ed è diverso da infinito, allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q per x tendente a +∞. In caso contrario non ce l'ha.

Con la stessa procedura verifico anche l'esistenza dell'asintoto obliquo per x tendente a -∞.

Esempio

Devo verificare se la funzione ha un asintoto obliquo

$$ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $$

Per prima cosa verifico se il limite per x tendente a infinito è infinito.

$$ \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} = ∞ $$

Nota. Si tratta di una forma indeterminata di limite ∞/∞ che si risolve facilmente con il teorema di L'Hopital.

Quindi, verifico se esiste il coefficiente angolare diverso da zero.

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{ \frac{x^2}{x-1} }{x} $$

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x(x-1)} $$

$$ m = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x}{(x-1)} = 1 $$

Il coefficiente angolare m=1 esiste ed è diverso da zero.

A questo punto verifico se l'intercetta è diversa da ±∞.

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} - mx $$

poiché m=1

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2}{x-1} - x $$

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x^2-x^2+x}{x-1} $$

$$ q = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{x}{x-1} = 1 $$

Ho così trovato il coefficiente angolare m=1 e l'intercetta q=1 della retta asintotica obliqua.

Gli asintoti obliqui nelle funzioni razionali fratte

Una funzione razionale fratta $ f(x)=\frac{A(x)}{B(x)} $ ammette uno e un solo asintoto obliquo se e solo se il grado $ n $ del polinomio al numeratore $ A(x) $ supera di una unità il grado $ m$ del polinomio $ B(x) $ al denominatore. $$ n = m+1 $$

Esempio

Considero la funzione razionale fratta:

\[ f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^2 - 1} \]

Il polinomio al numeratore ha grado 3 mentre quello al denominatore ha grado 2.

$$ n=3 $$

$$ m=2 $$

La differenza è $ 3-2=1 $, quindi esiste un asintoto obliquo.

Per trovarlo effettuo la divisione tra i polinomi

 $$ \begin{array}{cccc|cc} x^3 & +2x^2 & 0x & -1   & x^2 & -1  \\  -x^3 &  & +x &   & x +2 \\ \hline  & 2x^2 & +x & \\  & -2x^2 & & +2 \\ \hline  &  & -x & +1 \end{array} $$

Quindi, il quoziente è \( Q(x) = x+2 \) e il resto è \( R(x) = -x+1 \)

Sapendo che la divisione tra due polinomi è

$$ \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{ R(x) }{B(x)} $$

Spiegazione. Poiché $$ A(x):B(x) = Q(x) \text{ con resto } R(x) $$ ne consegue che $$ A(x) = Q(x) \cdot B(x) + R(x) $$ Dividendo entrambi i membri per $ B(x) $ $$ \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)} $$

Sostituendo ottengo

$$ \frac{x^3+2x^2-1}{x^2+1} = (x+2) + \frac{-x+1}{x^2+1} $$

Poiché asintoticamente il resto si annulla per $ x \to \infty $

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{-x+1}{x^2+1} = 0 $$

Ne consegue che il grafico della funzione per $ x \to \infty $ si avvicina alla retta $ y=x+2 $.

Pertanto, asintoticamente la funzione si comporta come $ f(x) \approx x + 2 $

Quindi, l'asintoto obliquo è

$$ y = x + 2 $$

L'idea chiave è che asintoticamente la parte \( x + 2 \) domina, mentre il resto sparisce. Quindi, il grafico si avvicina alla retta \( y = x + 2 \).

E così via.