Linee di livello
Le linee di livello di una funzione di due variabili z=f(x,y) è un insieme di punti (x,y) del piano che soddisfano l'equazione f(x,y)=k. Dove k indica la quota, ossia l'altezza o la profondità della funzione sull'asse z.$$ \{ \ (x,y) \in R^2 \ | \ f(x,y)=k \ \} $$
Le linee di livello sono un sottoinsieme dello spazio della funzione z=f(x,y).
Sono utili per rappresentare il grafico di una funzione a due o più variabili in modo più semplice e comprensibile.
Come costruire le linee di livello
Disegno il grafico di una funzione di due variabili z=f(x,y).
Per individuare una linea di livello k, interseco il grafico della funzione con un piano parallelo al piano xy ad altezza o profondità x=k.
Poi proietto i punti di intersezione sul piano xy.
La proiezione sul piano xy è detta linea di livello k. Le linee di livello si trovano sempre sul piano xy.
Ripeto la stessa operazione a diverse altezze e profondità, ottendendo altre linee di livello.
Le linee di livello sono utili perché danno un'idea del comportamento della funzione utilizzando il piano a due dimensione.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione la funzione a due variabili
$$ z= f(x,y)=x^2+y^2 $$
Il grafico della funzione nello spazio a 3 dimensioni (x,y,z) è il seguente
Ora trovo le varie linee di livello che mi interessa rappresentare
$$ x^2 + y^2 = k $$
Le linee di livello k<0 non esistono, perché la funzione f(x,y) non assume valori negativi.
La linea di livello k=0 coincide con l'origine (0,0) del piano cartesiano.
La linea di livello k=1 è una circonferenza di raggio k che si ottiene quando
$$ x^2 + y^2 = 1 $$
Dal punto ti vista grafico è un piano che interseca il grafico della funzione all'atezza z=k=1.
La linea di livello k=2 è una circonferenza di raggio k che si ottiene quando
$$ x^2 + y^2 = 2 $$
Sul piano aggiungo un'altra linea di livello
E via dicendo per k=3, k=4, ecc.
Nota. In questo caso le linee di livello diventano sempre più ravvicinate man man che incremento l'altezza. Quando l'incremento è lo stesso e la distanza tra le linee di livello si riduce, vuol dire che la pendenza del grafico aumenta.
Esempio 2
Questa funzione è leggermente più complessa.
z=f(x,y) = xy
E' un insieme di punti ottenuto quando
$$ \{ \ (x,y) \ \in R^2 \ | \ xy = k \ \} $$
In questo caso il grafico della funzione è un po' difficile da disegnare a mano
Per rappresentare più facilmente il grafico uso le linee di livello a diverse altezze (z>0) e profondità (z<0).
La linea di livello k=0 è l'insieme di punti che soddisfano l'equazione
$$ f(x,y) = x \cdot y = 0 $$
La linea di livello k=0 coincide con gli assi cartesiani delle ascisse e delle ordinate.
Le linee di livello k > 0 sono iperboli equilatere nel 1 e 3 quadrante (altezza)
Le linee di livello k < 0 sono iperboli equilatere nel 2 e 4 quadrante (profondità)
Le linee di livello delle altezze e delle profondità sono disegnate sul piano di base ed è facile confondersi.
Per distinguerle a ogni linea di livello associo un'etichetta per indicare il livello k.
Nota. Quando i livelli sono molti è meglio disegnare le linee con un colore diverso e aggiungere una legenda al grafico.
E così via.
