Infiniti in matematica

Una funzione \( f(x) \) diverge a infinito per \( x \to \alpha \) quando il limite della funzione, avvicinandosi al punto \( \alpha \), cresce senza limite oppure decresce senza limite. \[ \lim_{x \to \alpha} f(x) = \pm \infty \]

Questo significa che i valori della funzione diventano arbitrariamente grandi (positivi o negativi) quando \( x \) si avvicina ad \( \alpha \).

Un esempio pratico

Considero la funzione

\[ f(x) = \frac{1}{x - 1} \]

Per \( x \to 1 \), il denominatore tende a zero.

• Se \( x \to 1^+ \) (da destra), il denominatore \( x-1 > 0 \) diventa molto piccolo ma resta positivo, quindi la funzione tende a più infinito \( f(x) \to +\infty \) $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1}  = + \infty $$
• Se \( x \to 1^- \) (da sinistra), il denominatore \( x-1 < 0 \) è molto piccolo ma negativo, quindi la funzione tende a meno infinito \( f(x) \to -\infty \) $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1}  = - \infty $$

Quindi la funzione diverge a infinito in \( x = 1 \).

Tuttavia non ha un limite definito per $ x \to 1 $ perché il limite destro e il limte sinistro non coincidono.

$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1}  \ne \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1}  $$

Questo comportamento diventa molto chiaro guardando il grafico della funzione.

Esempio 2

Una funzione può essere infinita anche quando la variabile cresce senza limite.

Ad esempio, considero la funzione

\[ f(x) = x^2 \]

Per \( x \to +\infty \) la funzione tende a infinito \( x^2 \to +\infty \).

$$ \lim_{x \to \infty} x^2  = + \infty $$

Lo stesso accade per \( x \to -\infty \), anche in questo caso la funzione tende a infinito \( x^2 \to +\infty \)

$$ \lim_{x \to - \infty} x^2  = + \infty $$

In entrambi i casi la funzione tende a più infinito.  

Infiniti simultanei

Se due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) tendono entrambe a infinito per \( x \to \alpha \), si dicono infiniti simultanei.

A seconda della velocità di crescita delle funzioni, gli infiniti sono detti.

• Infinito dello stesso ordine
  Se il limite del rapporto tra le due funzioni è un numero finito diverso da zero ( \( l \ne 0 \) ), le due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso ordine di infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0 $$
• Infinito di ordine superiore
  Se il limite del rapporto tra le due funzioni è un infinito ( \( \pm \infty \) ), la funzione f(x) al numeratore è un infinito di ordine superiore a g(x) perché si avvina più rapidamente all'infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infty $$
• Infinito di ordine inferiore
  Se il limite del rapporto tra le due funzioni è zero, la funzione f(x) al numeratore è un infinito di ordine inferiore a g(x) perché si avvina più lentamente all'infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$

Nel caso in cui il limite del rapporto delle due funzioni non esiste per $ x \to \alpha $, si dice semplicemente che le funzioni f(x) e g(x) non sono confrontabili.

Esempio

Considero le funzioni

$$ f(x)=x^3 $$

$$ g(x)=x^2 $$

Per \( x \to +\infty \), entrambe le funzioni tendono a infinito:

$$ \lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty $$

$$ \lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty $$

In altre parole, le due funzioni divergono a infinito per $ x \to \infty $. Quindi, sono infiniti simultanei.

Poiché  \( x^3 \) cresce più velocemente di \( x^2 \), si dice che \( x^3 \) è un infinito di ordine superiore rispetto a \( x^2 \) per $ x \to \infty $.

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = + \infty $$

Di conseguenza, \( x^2 \) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \( x^3 \).

E così via.