Infiniti in matematica
Una funzione \( f(x) \) diverge a infinito per \( x \to \alpha \) quando il limite della funzione, avvicinandosi al punto \( \alpha \), cresce senza limite oppure decresce senza limite. \[ \lim_{x \to \alpha} f(x) = \pm \infty \]
Questo significa che i valori della funzione diventano arbitrariamente grandi (positivi o negativi) quando \( x \) si avvicina ad \( \alpha \).
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ f(x) = \frac{1}{x - 1} \]
Per \( x \to 1 \), il denominatore tende a zero.
- Se \( x \to 1^+ \) (da destra), il denominatore \( x-1 > 0 \) diventa molto piccolo ma resta positivo, quindi la funzione tende a più infinito \( f(x) \to +\infty \) $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = + \infty $$
- Se \( x \to 1^- \) (da sinistra), il denominatore \( x-1 < 0 \) è molto piccolo ma negativo, quindi la funzione tende a meno infinito \( f(x) \to -\infty \) $$ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} = - \infty $$
Quindi la funzione diverge a infinito in \( x = 1 \).
Tuttavia non ha un limite definito per $ x \to 1 $ perché il limite destro e il limte sinistro non coincidono.
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} \ne \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x - 1} $$
Questo comportamento diventa molto chiaro guardando il grafico della funzione.
Esempio 2
Una funzione può essere infinita anche quando la variabile cresce senza limite.
Ad esempio, considero la funzione
\[ f(x) = x^2 \]
Per \( x \to +\infty \) la funzione tende a infinito \( x^2 \to +\infty \).
$$ \lim_{x \to \infty} x^2 = + \infty $$
Lo stesso accade per \( x \to -\infty \), anche in questo caso la funzione tende a infinito \( x^2 \to +\infty \)
$$ \lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty $$
In entrambi i casi la funzione tende a più infinito.
Infiniti simultanei
Se due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) tendono entrambe a infinito per \( x \to \alpha \), si dicono infiniti simultanei.
A seconda della velocità di crescita delle funzioni, gli infiniti sono detti.
- Infinito dello stesso ordine
Se il limite del rapporto tra le due funzioni è un numero finito diverso da zero ( \( l \ne 0 \) ), le due funzioni f(x) e g(x) hanno lo stesso ordine di infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = l \ne 0 $$ - Infinito di ordine superiore
Se il limite del rapporto tra le due funzioni è un infinito ( \( \pm \infty \) ), la funzione f(x) al numeratore è un infinito di ordine superiore a g(x) perché si avvina più rapidamente all'infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infty $$ - Infinito di ordine inferiore
Se il limite del rapporto tra le due funzioni è zero, la funzione f(x) al numeratore è un infinito di ordine inferiore a g(x) perché si avvina più lentamente all'infinito. $$ \lim_{ x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$
Nel caso in cui il limite del rapporto delle due funzioni non esiste per $ x \to \alpha $, si dice semplicemente che le funzioni f(x) e g(x) non sono confrontabili.
Esempio
Considero le funzioni
$$ f(x)=x^3 $$
$$ g(x)=x^2 $$
Per \( x \to +\infty \), entrambe le funzioni tendono a infinito:
$$ \lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty $$
$$ \lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty $$
In altre parole, le due funzioni divergono a infinito per $ x \to \infty $. Quindi, sono infiniti simultanei.
Poiché \( x^3 \) cresce più velocemente di \( x^2 \), si dice che \( x^3 \) è un infinito di ordine superiore rispetto a \( x^2 \) per $ x \to \infty $.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} x = + \infty $$
Di conseguenza, \( x^2 \) è un infinito di ordine inferiore rispetto a \( x^3 \).
Ordine di infinito
Siano \( f(x) \) e \( g(x) \) due infiniti per \( x \to a \). Si dice che \( f(x) \) è un infinito di ordine \( \gamma \) rispetto a \( g(x) \) se vale: \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = l \neq 0 \] In questo caso \( f(x) \) e \( [g(x)]^\gamma \) hanno lo stesso ordine di infinità.
L’idea è confrontare la velocità con cui due funzioni divergono.
Se il rapporto tra f(x) e una potenza di g(x), detta infinito campione, tende a un numero finito e diverso da zero, allora crescono "allo stesso ritmo” a meno di una potenza.
Il numero \( \gamma \) misura quanto più velocemente cresce f(x) rispetto a g(x). Non si limita a dire che una funzione diverge, ma quantifica come diverge rispetto a un riferimento.
Infinito campione
Se nell'ordine di infinito di f(x) non è specificato l'infinito campione g(x), si intende uno dei seguenti:
- $ g(x) = \frac{1}{x - x_0} $ per $ x \to x_0 $
- $ g(x) = x $ per $ x \to \infty $
Questi servono come “unità di misura” standard per classificare gli infiniti.
Esempio
Considero la funzione
$$ f(x) = x^2 $$
Prendo come infinito campione la funzione
$$ g(x) = x \quad \text{per } x \to \infty $$
Ora calcolo l'ordine di infinito di f(x) rispetto a g(x)
$$ \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = \frac{x^2}{x^\gamma} $$
Per avere un limite finito diverso da zero deve essere:
$$ 2 - \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 2 $$
Quindi, \( x^2 \) è un infinito di ordine 2 rispetto a \( x \).
Gerarchie di infiniti
Quando \( x \to +\infty \), le funzioni \( (\log_a x)^\alpha \), \( x^\beta \) e \( b^x \) divergono, ma con velocità molto diverse. Vale la gerarchia asintotica $$ (\log_a x)^\alpha \ll x^\beta \ll b^x $$ Dove $ a,b>1 $ e $ \alpha, \beta > 0 $.
In altre parole, il logaritmo cresce più lentamente di qualsiasi potenza, e ogni potenza cresce più lentamente di qualsiasi esponenziale, come mostrano i limiti dei loro rapporti che tendono a zero.
Nel primo caso si confronta il logaritmo elevato a potenza con una potenza di ( x ):
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\log_a x)^\alpha}{x^\beta} = 0 \]
Anche elevando il logaritmo a qualsiasi potenza positiva, la crescita rimane infinitamente più lenta rispetto a quella di una qualunque potenza di \( x \). In termini asintotici, il logaritmo è trascurabile rispetto alla funzione polinomiale.
Passando al secondo confronto, tra potenza ed esponenziale, si ha:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^\beta}{b^x} = 0 \]
Le funzioni esponenziali crescono così rapidamente che qualsiasi potenza di \( x \), anche con esponente elevato, diventa irrilevante al confronto. L’esponenziale domina completamente.
Questi risultati definiscono una vera e propria gerarchia di crescita. Per \( x \) sufficientemente grande, ciascuna funzione è infinitamente più piccola della successiva.
Infiniti equivalenti
Due infiniti \( f(x) \) e \( g(x) \), per \( x \to \alpha \), sono asintoticamente equivalenti se \[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \] In questo caso si scrive \( f \sim g \).
Questo implica che hanno lo stesso ordine di infinito. Poiché il loro rapporto tende a 1, crescono o decrescono allo stesso modo
Principio di sostituzione
Se \( f(x) \sim g(x) \) per \( x \to \alpha \), allora posso sostituire \( f(x) \) con \( g(x) \) dentro un limite, e solo se la sostituzione non altera la forma del limite.
\[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \]
Questa sostituzione è corretta perché per \( x \to \alpha \) il loro rapporto $ \frac{f(x)}{g(x)} $ tende a 1:
\[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{h(x)} \cdot \frac{g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot 1 = \lim_{x \to \alpha} \frac{g(x)}{h(x)} \]
Nota. Bisogna però chiarire bene che la sostituzione non è universale, funziona bene nei prodotti e nei quozienti. Non è automaticamente lecita nelle somme o nelle differenze senza ulteriori analisi.
Esempio
Considero il limite
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ 2x } \]
Il termine dominante sotto la radice è $ x^2 $, quindi $ \sqrt{x^2+3x} \sim \sqrt{x^2} $ sono infiniti equivalenti
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ \sqrt{x^2} } = 1 \]
Pertanto, posso sostiturie $ \sqrt{x^2+3x} \sim \sqrt{x^2} $ nel limite iniziale
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2+3x}}{ 2x } \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^2}}{ 2x } \]
Poiché $ \sqrt{x^2}=x $
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{ x}{ 2x} = \frac{1}{2} \]
Quindi, il limite tende a $ \frac{1}{2} $ per $ x \to \infty $.
E così via.
