Le funzioni monotòne
Cos'è una funzione monotòna
- Una funzione f(x) è detta funzione monotòna se per ogni coppia di valori x1 e x2 in un intervallo [a,b] con x2>x1 è sempre
- crescente $$ f(x_1) \le f(x_2) $$
- strettamente crescente $$ f(x_1) < f(x_2) $$
- decrescente $$ f(x_1) \ge f(x_2) $$
- strettamente decrescente $$ f(x_1) > f(x_2) $$
Esempi pratici
Esempio 1
Questa funzione è monotòna crescente.
Non è strettamente crescente perché in alcuni tratti è costante.
Quindi è una funzione non decrescente.
Esempio 2
Questa funzione è monotòna strettamente crescente perché cresce sempre. Non è mai costante.
Esempio 3
Questa funzione è monotòna decrescente.
Non è strettamente decrescente perché in alcuni tratti è costante.
Quindi è una funzione non crescente.
Esempio 4
Questa funzione è monotòna strettamente decrescente perché decresce sempre. Non è mai costante.
Le funzioni strettamente monotòne
La funzione è detta strettamente monotòna se è strettamente crescente o strettamente decrescente.
Detto in modo più semplice, le funzioni strettamente monotòne non hanno nessun intervallo in cui sono costanti.
A seconda del caso crescono o decrescono sempre.
Le proprietà delle funzioni strettamente monotòne
La stretta monotònia è molto importante in analisi matematica perché è una condizione di invertibilità della funzione.
Una funzione strettamente monotòna è sempre una funzione invertibile, quindi ha sempre una funzione inversa.
Esempio
Questa funzione f(x) è strettamente crescente
$$ f(x)=x+1 $$
Quindi, è anche una funzione invertibile e la sua inversa è
$$ f^{-1}(y)=y-1 $$
E così via.