Le funzioni monotÚne

Cos'è una funzione monotòna

    Una funzione f(x) è detta funzione monotòna se per ogni coppia di valori x1 e x2 in un intervallo [a,b] con x2>x1 è sempre
  • crescente $$ f(x_1) \le f(x_2) $$
  • strettamente crescente $$ f(x_1) < f(x_2) $$
  • decrescente $$ f(x_1) \ge f(x_2) $$
  • strettamente decrescente $$ f(x_1) > f(x_2) $$

Esempi pratici

Esempio 1

Questa funzione è monotòna crescente.

funzione monotona crescente

Non è strettamente crescente perché in alcuni tratti è costante.

Quindi è una funzione non decrescente.

Esempio 2

Questa funzione è monotòna strettamente crescente perché cresce sempre. Non è mai costante.

una funzione strettamente crescente (esempio)

Esempio 3

Questa funzione è monotòna decrescente.

un esempio di funzione monotòna decrescente

Non è strettamente decrescente perché in alcuni tratti è costante.

Quindi è una funzione non crescente.

Esempio 4

Questa funzione è monotòna strettamente decrescente perché decresce sempre. Non è mai costante.

un esempio di funzione strettamente decrescente

Le funzioni strettamente monotòne

La funzione è detta strettamente monotòna se è strettamente crescente o strettamente decrescente.

Detto in modo più semplice, le funzioni strettamente monotòne non hanno nessun intervallo in cui sono costanti.

A seconda del caso crescono o decrescono sempre.

Le proprietà delle funzioni strettamente monotòne

La stretta monotònia è molto importante in analisi matematica perché è una condizione di invertibilità della funzione.

Una funzione strettamente monotòna è sempre una funzione invertibile, quindi ha sempre una funzione inversa.

Esempio

Questa funzione f(x) è strettamente crescente

$$ f(x)=x+1 $$

Quindi, è anche una funzione invertibile e la sua inversa è

$$ f^{-1}(y)=y-1 $$

E così via.

 


 

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