Il teorema di esistenza dei valori intermedi

Una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). E' anche detto teorema di tutti i valori.
il teorema di esistenza degli zeri (esempio)

Si applica alle funzioni continue reali.

Secondo il teorema, l'immagine [f(a),f(b)] di un intervallo [a,b] contiene tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi f(a) e f(b).

Un esempio pratico

Ho la seguente funzione continua nell'intervallo [-2,2]

$$ f(x)=x+1 $$

La funzione è negativa all'estremo sinistro a=-2 e positiva all'estremo destro b=2

$$ f(a) = f(-2)=-1 $$

$$ f(b) = f(2)=3 $$

Tra il valore f(a) e f(b) esistono tutti i valori intermedi per qualsiasi x di [a,b]

un esempio pratico del teorema di esistenza degli zeri

La dimostrazione con spiegazione

Prendo in considerazione una funzione continua in cui l'estremo f(a) sia inferiore all'estremo f(b).

$$ f(a) \le f(b) $$

Secondo il teorema dei valori intermedi

$$ \forall \: y_0 \in [f(a),f(b)] \: \exists \: x_0 \in [a,b] \: : \: f(x_0)=f(y_0) $$

Creo una funzione g(x) per misurare la differenza tra il valore y0 e qualsiasi altro valore di f(x) nell'intervallo [a,b]

$$ g(x) = f(x) - y \:\:\: \forall \: x \in [a,b] $$

Calcolo la funzione differenza rispetto agli estremi dell'intervallo [a,b]

$$ g(a)=f(a)-y $$

$$ g(b)=f(b)-y $$

Essendo f(a)<(b) allora il valore y0 è compreso tra questi valori estremi

$$ f(a) < y < f(b) $$

Quindi, posso calcolare il segno delle funzioni differenza.

$$ g(a)=f(a)-y < 0 $$

$$ g(b)=f(b)-y > 0 $$

La funzione g(x) ha un valore estremo negativo g(a)<0 e un valore estremo positivo g(b)>0.

Secondo il teorema di esistenza degli zeri, esiste un punto intermedio x0 in cui la funzione è nulla.

$$ f(x_0)=y $$

Essendo una funzione continua, la presenza del punto intermedio f(x0) dimostra l'esistenza dei valori intermedi tra gli estremi f(a) e f(b) per qualsiasi x di [a,b].

Corollario di esistenza tra un minimo e un massimo

Se una funzione è continua in un intervallo [a,b], la funzione assume tutti i valori possibili tra un minimo (m) e un massimo (M).

La dimostrazione

Secondo il teorema di Weierstrass una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] ha un valore minimo (m) e un valore massimo (M).

Devo provare che per qualsiasi valore y0 di [m,M] esiste un valore x0 di [a,b] tale che f(x0)=y0

$$ \forall \: y_0 \in (m,M) \: \exists \: x_0 \in [a,b] \: : \: f(x_0)=y_0 $$

Prendo in considerazioni il punto di minimo (x1) e il punto di massimo (x2).

$$ m=f(x_1) $$

$$ M=f(x_2) $$

Definisco una funzione differenza f(x)-y0

$$ h(x)=f(x)-y_0 $$

Poiché m<y0 la funzione h(x) è minore di zero in x1 (punto di minimo).

$$ h(x_1)=f(x_1)-y_0< 0 $$

poiché M>y0 la funzione h(x) è maggiore di zero in x2 (punto di massimo)

$$ h(x_2)=f(x_2)-y_0> 0 $$

Secondo il teorema di esistenza degli zeri, esiste un numero x0 nell'intervallo aperto (x1,x2) tale che g(x0)=0.

Se g(x0)=0 allora

$$ f(x_0)=y_0 $$

Quindi il valore y0 è uguale a f(x0) ossia esiste un punto x0 in [a,b] tale che f(x0)=y0.

Essendo la funzione f(x) continua in [m,M] lo stesso procedimento posso ripeterlo per ogni valore y0∈(m,M)

Pertanto, per ogni y0∈(m,M) del codominio esiste un punto x0 del dominio tale che f(x0)=y0.

Il teorema è dimostrato.

E così via.

 


 

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