Il teorema di Weierstrass
Una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ha un valore minimo m=f(x1) e massimo M=f(x2) tali che $$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) \:\:\: \forall x \in [a,b] $$
I punti x1 e x2 dell'intervallo [a,b] sono detti rispettivamente punti di minimo e di massimo.
Un esempio pratico
Prendo in considerazione questa funzione.
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
La funzione non è limitata nell'intervallo (0,5] perché non ha un estremo superiore. Quindi non può avere un massimo (M).
Non è limitata nemmeno nell'intervallo [5,+∞) perché pur avendo un limite che tende a zero (estremo inferiore), non esiste un numero x tale tale che f(x)=0. Quindi non ha un minimo (m).
Tuttavia, se prendo in considerazione l'intervallo chiuso [1,5] la f(x) diventa una funzione limitata.
$$ 0.2 \le f(x) \le 1 \:\:\: \forall x \in [1,5] $$
In questo caso, esistono due punti di minimo (x1) e di massimo (x2) nell'intervallo [a,b] del dominio in cui la funzione assume il minimo e il massimo.
$$ M=f(1)=1 $$
$$ m=f(5)=0.2 $$
Nota. In questo caso i punti di minimo e di massimo sono gli estremi dell'intervallo chiuso [a,b]. Non è però detto. In altri casi i punti di minimo e massimo potrebbero essere anche dei punti interni nell'intervallo [a,b]. Lo specifico perché è facile confondersi.
La dimostrazione con spiegazione
Prendo in considerazione una funzione f(x) in un intervallo chiuso [a,b] in cui esiste un valore massimo M.
$$ M=sup(f(x):x \in [a,b]) $$
Esempio. Questo grafico mostra la funzione coseno nell'intervallo [-1,1]. La funzione ha un punto di massimo in x0=0 dove la f(x) assume il valore massimo M=1.
Avendo un estremo superiore (M) esiste una successione xn che fa convergere la funzione f(x) al massimo.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = M $$
Ci sono due ipotesi:
- M è limite infinito
Se M=+∞ allora per ogni n ∈ N esiste xn in [a,b] tale che $$ f(x_n)>n $$ Quindi, il limite della successione è infinito $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = ∞ $$ - M è limite finito
Se M<+∞ allora per ogni n ∈ N esiste xn in [a,b] tale che $$ M-\frac{1}{n} < f(x_n) \le M $$ Quindi, il limite della successione è finito $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) $$
Ora devo capire se M è un numero finito o infinito.
Essendo l'intervallo [a,b] limitato, la successione xn è limitata. Quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una successione estratta xnk convergente a un punto dell'intervallo [a,b].
Esempio. Un esempio di successione estratta convergente.
Prendo in considerazione una successione estratta xnk che converge al punto x0 dell'intervallo [a,b].
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} x_{nk} = x_0 $$
Nota. Il punto x0 è quello in cui per ipotesi potrebbe convergere la funzione f(x) se ha un massimo limitato. $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) $$
Essendo la funzione f(x) continua, la funzione f(xnk) converge a f(x0)
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) $$
Quindi
$$ \begin{cases} M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) \\ \\ \lim_{k \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) \end{cases} $$
pertanto vale la seguente uguaglianza
$$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = \lim_{k \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) $$
Questo dimostra che l'estremo superiore della funzione è un massimo M finito
$$ M = f(x_0) = sup \{ f(x) \: \forall x \in [a,b] \} $$
Quindi il limite della funzione f(xn) converge a un numero finito M e non diverge a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = M $$
Nota. Posso seguire lo stesso ragionamento per determinare il punto di minimo a partire dall'estremo inferiore m=f(x) nell'intervallo chiuso [a,b].
E così via.