Il teorema di Weierstrass

Una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] ha un valore minimo m=f(x₁) e massimo M=f(x₂) tali che $$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) \:\:\: \forall x \in [a,b] $$

I punti x₁ e x₂ dell'intervallo [a,b] sono detti rispettivamente punti di minimo e di massimo.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione questa funzione.

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

La funzione non è limitata nell'intervallo (0,5] perché non ha un estremo superiore. Quindi non può avere un massimo (M).

Non è limitata nemmeno nell'intervallo [5,+∞) perché pur avendo un limite che tende a zero (estremo inferiore), non esiste un numero x tale tale che f(x)=0. Quindi non ha un minimo (m).

Tuttavia, se prendo in considerazione l'intervallo chiuso [1,5] la f(x) diventa una funzione limitata.

$$ 0.2 \le f(x) \le 1 \:\:\: \forall x \in [1,5] $$

In questo caso, esistono due punti di minimo (x₁) e di massimo (x₂) nell'intervallo [a,b] del dominio in cui la funzione assume il minimo e il massimo.

$$ M=f(1)=1 $$

$$ m=f(5)=0.2 $$

Nota. In questo caso i punti di minimo e di massimo sono gli estremi dell'intervallo chiuso [a,b]. Non è però detto. In altri casi i punti di minimo e massimo potrebbero essere anche dei punti interni nell'intervallo [a,b]. Lo specifico perché è facile confondersi.

La dimostrazione con spiegazione

Prendo in considerazione una funzione f(x) in un intervallo chiuso [a,b] in cui esiste un valore massimo M.

$$ M=sup(f(x):x \in [a,b]) $$

Esempio. Questo grafico mostra la funzione coseno nell'intervallo [-1,1]. La funzione ha un punto di massimo in x₀=0 dove la f(x) assume il valore massimo M=1.

Avendo un estremo superiore (M) esiste una successione x_n che fa convergere la funzione f(x) al massimo.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = M $$

Ci sono due ipotesi:

1. M è limite infinito
   Se M=+∞ allora per ogni n ∈ N esiste x_n in [a,b] tale che $$ f(x_n)>n $$ Quindi, il limite della successione è infinito $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = ∞ $$
2. M è limite finito
   Se M<+∞ allora per ogni n ∈ N esiste x_n in [a,b] tale che $$ M-\frac{1}{n} < f(x_n) \le M $$ Quindi, il limite della successione è finito $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) $$

Ora devo capire se M è un numero finito o infinito.

Essendo l'intervallo [a,b] limitato, la successione x_n è limitata. Quindi, per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una successione estratta x_nk convergente a un punto dell'intervallo [a,b].

Esempio. Un esempio di successione estratta convergente.

Prendo in considerazione una successione estratta x_nk che converge al punto x₀ dell'intervallo [a,b].

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} x_{nk} = x_0 $$

Nota. Il punto x₀ è quello in cui per ipotesi potrebbe convergere la funzione f(x) se ha un massimo limitato. $$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) $$

Essendo la funzione f(x) continua, la funzione f(x_nk) converge a f(x₀)

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) $$

Quindi

$$ \begin{cases} M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = f(x_0) \\ \\ \lim_{k \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) \end{cases} $$

pertanto vale la seguente uguaglianza

$$ M = \lim_{n \rightarrow ∞} f(x_n) = \lim_{k \rightarrow ∞} f(x_{nk}) = f(x_0) $$

Questo dimostra che l'estremo superiore della funzione è un massimo M finito

$$ M = f(x_0) = sup \{ f(x) \: \forall x \in [a,b] \} $$

Quindi il limite della funzione f(xn) converge a un numero finito M e non diverge a infinito

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = M $$

Nota. Posso seguire lo stesso ragionamento per determinare il punto di minimo a partire dall'estremo inferiore m=f(x) nell'intervallo chiuso [a,b].

E così via.