La retta tangente al grafico di una funzione
Data una funzione \( y=f(x) \), la retta tangente nel punto \( A(x_0;y_0) \) è la retta che ha la stessa direzione del grafico in quel punto. \[ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \]
L’equazione della retta che passa in un punto \( (x_0;y_0) \) del piano cartesiano è
\[ y-y_0=m(x-x_0) \]
Il coefficiente angolare della retta tangente è la derivata della funzione calcolata nel punto:
\[ m=f'(x_0) \]
Questa relazione è una delle applicazioni più importanti della derivata perché permette di descrivere localmente il comportamento di una funzione tramite una retta.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ y=x^2+2x \]
Voglio determinare l'equazione della retta tangente alla funzione nel punto \( A(1;3) \)
Prima di tutto verifico che il punto appartenga alla curva.
Sostituisco \( x=1 \) nella funzione:
\[ y=1^2+2 \cdot 1 \]
\[ y=1+2=3 \]
Il risultato è $ y=3 $, quindi il punto \( A(1;3) \) appartiene effettivamente alla parabola.
Nota. Verificare se il punto appartiene alla funzione è un passaggio molto utile perché evita calcoli inutili. Se il punto non appartiene al grafico della funzione, non può esistere alcuna retta tangente in quel punto. Per questa ragione conviene sempre controllare subito la sostituzione del punto nell’equazione della funzione. È una verifica semplice che richiede pochi secondi ma può evitare diversi minuti di calcoli sbagliati o inutili.
A questo punto scrivo l'equazione del fascio di rette passanti per \( A(1;3) \).
L'equazione del fascio di rette che passano per un punto \( (x_0 ; y_0 ) \) è:
\[ y - y_0 = m (x-x_0) \]
Sostituisco le coordinate del punto \( x_0 = 1 \) e \( y_0 = 3 \)
\[ y-3=m(x-1) \]
Dove \( m \) è il coefficiente angolare.
Tra tutte queste rette devo individuare quella tangente alla curva.
Per trovare il coefficiente angolare della tangente calcolo la derivata della funzione nel punto \( x=1 \).
Uso la definizione di derivata:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} \]
La funzione è \( f(x)=x^2+2x \) quindi \( f(1)=1^2+2 \cdot 1 \) e \( f(1+h)=(1+h)^2+2(1+h) \)
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[ (1+h)^2+2(1+h) ]-(1^2+2 \cdot 1)}{h} \]
Sviluppo i calcoli:
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[ 1+2h+h^2+2+2h ]-3}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{[ h^2+4h+3 ]-3}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0}\frac{ h^2+4h}{h} \]
\[ f'(1)=\lim_{h \to 0} (h+4) \]
Poiché $ h \to 0 $ il risultato del limite è 4
\[ f'(1)=4 \]
Quindi, il coefficiente angolare della retta tangente è \( m=4 \).
Nota. In questo esempio ho sviluppato tutti i passaggi usando la definizione di derivata, in modo da mostrare chiaramente da dove nasce il coefficiente angolare della retta tangente. Tuttavia, chi ha già familiarità con il calcolo delle derivate può seguire una strada molto più rapida. Data la funzione \[ y=x^2+2x \] la sua derivata è \[ y'=2x+2 \] Per trovare il coefficiente angolare della tangente nel punto di ascissa \( x=1 \) basta sostituire questo valore nella derivata: \[ y'=2 \cdot 1 +2 \] \[ y'=4 \] Si ottiene così lo stesso risultato $ y'=4 $, ossia il coefficiente angolare $ m=4 $, senza calcolare il limite del rapporto incrementale. Questo metodo è particolarmente utile negli esercizi perché, una volta calcolata la funzione derivata, può essere usata per ottenere il coefficiente angolare $ m $ della retta tangente in qualsiasi altro punto del grafico, semplicemente sostituendo l’ascissa $ x $ del punto nella funzione derivata.
Ora sostituisco \( m=4 \) nell’equazione del fascio di rette:
\[ y-3=4(x-1) \]
Sviluppo i calcoli:
\[ y-3=4x-4 \]
\[ y=4x-1 \]
Questa è l’equazione della retta tangente alla parabola nel punto \( A(1;3) \).
Dal punto di vista geometrico la funzione \( y=x^2+2x \) è una parabola e nel punto \( x=1 \) la curva ha una pendenza pari a 4.
La retta tangente \( y=4x-1 \) tocca la parabola nel punto \( A(1;3) \) e in quel punto ha la stessa inclinazione della curva.
E così via.
