Funzioni composte

Cos'è una funzione composta

Una funzione è detta funzione composta quando il suo campo di definizione (dominio) coincide con l'immagine (codominio) di un'altra funzione. $$ h(x) = f(g(x)) $$ Si legge f di g di x.

Spesso la funzione composta è indicata anche con questa notazione

$$ h = f \circ g $$

Si legge f composto g.

Il codominio della funzione g e coincide con il dominio della funzione f.

Nota. L'insieme A è il dominio della funzione g. L'insieme B contiene le immagini della funzione g. Quindi, l'insieme B è sia il codominio della funzione g che il dominio della funzione f. L'insieme C contiene le immagini della funzione f ossia della funzione composta f[g(x)].

Un esempio pratico

Prendo in considerazione due funzioni

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

$$ g(x) = \sin x $$

Considero la funzione h(x) come una funzione composta f(g(x))

$$ h(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\sin x} $$

Ora il dominio della funzione f è il codominio della funzione g=sin x ossia l'intervallo [0,1]

Il grafico della funzione composta f(g(x)) è il seguente

Come riconoscere una funzione composta

Una funzione composta non si riconosce dalla presenza di parentesi, ma dal fatto che l'argomento di una funzione è a sua volta una funzione.

In pratica, se l'intero argomento di una funzione può essere considerato una nuova variabile, allora la funzione è composta.

Esempio

Ad esempio, considero la funzione

$$ y=\ln(x^2+2) $$

Qui il logaritmo non agisce direttamente su \(x\), ma sull'espressione \(x^2+2\).

Posso infatti scomporre la funzione in due passaggi.

Assegno all'espressione una nuova variabile \(z\):

$$ z=x^2+2 $$

Poi applico il logaritmo al risultato:

$$ y=\ln z $$

Quindi la funzione può essere scritta nella forma dove $ g(x)=x^2+2 $ e $ f(z)=\ln z $.

$$ y=\ln(x^2+2)=f(g(x)) $$

La funzione è composta perché per ottenere \(y\) devo applicare una funzione al risultato prodotto da un'altra funzione.

Esempio 2

Considero la funzione

$$ y=x^2+3x $$

In questo caso non c'è nessuna funzione che utilizza come argomento il risultato di un'altra funzione.

I termini \(x^2\) e \(3x\) sono semplicemente sommati tra loro.

Pertanto la funzione non è una funzione composta.

Esempio 3

Considero la funzione

$$ y=\sin(3x+1) $$

Prima calcolo l'espressione interna:

$$ z=3x+1 $$

Poi applico il seno al risultato:

$$ y=\sin z $$

Anche questa è una funzione composta.

In generale, quando una funzione viene applicata al risultato di un'altra funzione, si ottiene una funzione composta.

Le proprietà delle funzioni composte

Alcune proprietà delle funzioni composte

• Le funzioni composte non rispettano la proprietà commutativa. $$ g[f(x)] \ne f[g(x)] $$

  Esempio. Ho due funzioni f(x) e g(x)$$ f(x) = x+1 $$$$ g(x) = 2x+3 $$La funzione g[f(x)] è la seguente:$$ g(f(x)) \\ g(x+1) \\ 2(x+1)+3 \\ 2x+5 $$Viceversa, la funzione f[g(x)] è la seguente$$ f(g(x)) \\ f(2x+3) \\ (2x+3)+1 \\ 2x+4 $$ Sono due funzioni diverse.

• Le funzioni composte rispettano la proprietà associativa $$ h \ o \ (g \ o \ f) = ( h \ o \ g ) \ o \ f $$

  Esempio. Ho tre funzioni f(x) , g(x) e h(x) $$ f(x) = x+1 $$ $$ g(x) = 2x+3 $$ $$ h(x) = -x $$ La funzione h o (g o f) è la seguente:$$ h \ o \ (g \ o \ f) = h \ o \ [2(x+1)+3] = h \ o \ [2x+5]=-[2x+5]=-2x-5 $$ La funzione (h o g) o f è la seguente$$ (h \ o \ g) \ o \ f = -(2x+3) \ o \ f = -2x-3 \ o \ f = -2(x+1)-3 = -2x-5 $$ Il risultato è lo stesso.

• Se il codominio di f[g(x)] coincide con il dominio di g(x) ossia A=C
  

  

  
  allora si può scrivere anche la funzione composta g[f(x)]. Tuttavia, le due funzioni composte in generale non coincidono $$ f[g(x)] \ne g[f(x)] $$ perché le funzioni composte non rispettano la proprietà commutativa.
• La funzione composta di una funzione f:A→B con la sua funzione inversa f^-1:B→A associa ogni elemento x del dominio a se stesso. $$ f^{-1}[f(x)] = x $$ Questa particolare composizione di funzioni è detta funzione identità.
  

E così via.