Le funzioni crescenti e decrescenti
Per verificare se una funzione è crescente o decrescente, si può usare il criterio di monotonia delle funzioni in base al quale c'è una relazione tra la derivata prima della funzione f(x) e la crescenza o decrescenza della funzione stessa.
Funzione crescente
Una funzione f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) è crescente in [a,b] se la derivata prima f(x) è maggiore uguale a zero $$ f'(x) \ge 0 $$ per ogni x ∈ (a,b).
Funzione decrescente
Una funzione f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) è decrescente in [a,b] se la derivata prima f(x) è minore uguale a zero $$ f'(x) \le 0 $$ per ogni x ∈ (a,b).
A cosa serve?
Il segno della derivata prima f'(x) è una delle principali informazioni nello studio e nella costruzione del grafico di una funzione.
Un esempio pratico
Ho la funzione x2
$$ f(x)=x^2 $$
La derivata prima della funzione è
$$ f'(x)=2x $$
Da -∞ a 0 la funzione derivata f'(x)=2x è negativa, mentre da 0 a +∞ è positiva.
$$ f'(x)= \begin{cases} 2x > 0 \text{ se x>0 } \\ 2x < 0 \text{ se x<0 } \end{cases} $$
Pertanto, la funzione f(x)=x2 è decrescente nell'intervallo (-∞,0) e crescente nell'intervallo (0,∞)
Dimostrazione e spiegazione
Ipotesi 1 ( derivata prima positiva )
Comincio la dimostrazione con l'ipotesi che la funzione derivata prima f'(x) sia non negativa nell'intervallo (a,b)
$$ f'(x) \ge 0 $$
Devo verificare se è crescente o decrescente.
Prendo due punti intermedi x1 e x2 dell'intervallo (a,b) tali che
$$ a \le x_1 \le x_2 \le b $$
Se la funzione è crescente deve valere la seguente relazione
$$ f(a) \le f(x_1) \le f(x_2) \le f(b) $$
Secondo il teorema di Lagrange nell'intervallo (x1,x2) deve esistere un punto x0 in cui
$$ f'(x_0)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$
con un semplice passaggio algebrico
$$ f(x_2)-f(x_1) = f'(x_0) \cdot (x_2-x_1) $$
Poiché f'(x0)≥0 per ipotesi e (x2-x1)>0 perché x2>x1 allora anche la differenza f(x2)-f(x1)≥0
$$ f(x_2)-f(x_1) \ge 0 $$
Pertanto, la funzione nell'intervallo (x1,x2) è crescente.
Questo dimostra la relazione tra la derivata prima positiva e la crescenza della funzione.
Nota. La relazione tra la derivata prima f'(x)≤0 (non positiva) e la decrescenza della funzione f(x) si dimostra in modo analogo ponendo per ipotesi f'(x)≤0. In questo caso, essendo (x2-x1)>0 la differenza f(x2)-f(x1)≤0
Ipotesi 2 ( funzione crescente )
Ipotizzo che la funzione sia crescente nell'intervallo (a,b) senza sapere nulla della derivata.
Quindi, preso un punto x0∈(a,b) la funzione è crescente in x0.
Per conoscere la derivata della funzione nel punto, calcolo il limite del rapporto incrementale della funzione in x0.
$$ f'(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ge 0 $$
Essendo una funzione crescente il numeratore del rapporto incrementale è
- f(x+h)-f(x) ≥0 per h>0
- f(x+h)-f(x) ≤0 per h<0
Quindi il rapporto incrementale è maggiore o uguale a zero sia per h>0 nella derivata destra
$$ f'(x_0+) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ge 0 $$
che per h<0 nella derivata sinistra
$$ f'(x_0-) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ge 0 $$
Nota. Nella derivata sinistra il denominatore (h<0) del rapporto incrementale è un valore negativo. Essendo minore o uguale a zero anche il numeratore f(x-h)-f(x) ≤0, il quoziente del rapporto è sicuramente un valore positivo.
Quindi la derivata prima della funzione nel punto x0 è positiva.
$$ f'(x_0) \ge 0 $$
E così via.