Funzione aperta

Una funzione $ f: X \to Y $ tra due spazi topologici è detta funzione aperta se l'immagine di ogni insieme aperto in $ X $ è un insieme aperto in $ Y $.

Una funzione aperta è una funzione che preserva l’apertura degli insiemi. In altre parole, se prendo un insieme aperto nel dominio, la sua immagine sarà aperta anche nel codominio.

Il concetto di funzione aperta è fondamentale quando si studiano le proprietà topologiche degli spazi, perché rivela informazioni sul tipo di relazione che esiste tra gli spazi $ X $ e $ Y $.

Ad esempio, possono dirmi come la struttura topologica di $ X $ si trasforma quando è mappata in $ Y $.

Il concetto di funzione aperta ha una controparte simile chiamata funzione chiusa. Una funzione $ f: X \to Y $ è detta chiusa se l'immagine di ogni insieme chiuso in $ X $ è un insieme chiuso in $ Y $. In altre parole, mappa insiemi chiusi in insiemi chiusi.

Un esempio di funzione aperta
La differenza tra funzione aperta e funzione continua.

Un esempio di funzione aperta

Considero lo spazio topologico $ X = \mathbb{R} $ e la funzione identità $ f: X \to X $, definita da $ f(x) = x $ per ogni $ x \in X $.

$$ f(x) = x $$

Questa funzione è sempre una funzione aperta, poiché l'immagine di ogni insieme aperto $ U \subset X $ è semplicemente l'insieme stesso $ U $, che è ovviamente aperto in $ X $.

Ad esempio, se prendo l'intervallo aperto $ (1,4) $ nell'insieme dominio $ X $, la sua immagine tramite $ f $ sarà ancora un intervallo aperto $ (1,4 ) $ nell'insieme codominio.

La differenza tra funzione aperta e funzione continua.

Mentre le funzioni continue si concentrano sul comportamento degli insiemi preimmagine (quelli "tirati indietro" dalla funzione), le funzioni aperte si concentrano sugli insiemi immagine (quelli "portati avanti" dalla funzione).

Una funzione continua $ f: X \to Y $ garantisce che la preimmagine di ogni insieme aperto in $ Y $ sia un insieme aperto in $ X $. In altre parole, il concetto di continuità riguarda il comportamento degli insiemi aperti "tirati indietro" attraverso la funzione, dal codominio al dominio.
Una funzione aperta, invece, si occupa di come si comportano gli insiemi aperti "spinti in avanti" attraverso la funzione, dal dominio al codomino. Se l'immagine di un insieme aperto in $ X $ è sempre aperta in $ Y $, allora la funzione è aperta.

Quindi, una funzione aperta e una funzione continua non sono la stessa cosa!

Una funzione continua non è necessariamente aperta.

Esempio

Considero la funzione $ f(x) = x^2 $ definita su $ \mathbb{R} $.

$$ f(x) = x^2 $$

Questa funzione è continua, ma non è aperta.

Se prendo l'insieme aperto $ (-2, 2) $ in $ \mathbb{R} $, l'immagine di questo insieme attraverso $ f(x) = x^2 $ è $ [0, 4) $, che non è aperto in $ \mathbb{R} $ perché non contiene un intorno aperto di $ 0 $, essendo $ 0 $ un estremo chiuso.

Questo esempio mostra chiaramente che la continuità non garantisce che gli insiemi aperti vengano mappati in insiemi aperti.

In conclusione, una funzione aperta non deve essere continua, e viceversa, quindi non bisogna dare per scontato che uno di questi concetti implichi l'altro.

E così via.