Rapporto incrementale della funzione
La definizione di rapporto incrementale
Il rapporto incrementale di una funzione è $$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Il valore h è l'incremento della variabile indipendente.
La spiegazione
Ho una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b).
$$ f(x) $$
Per rendere più semplice la spiegazione rappresento la funzione f(x) sul diagramma cartesiano
Prendo un generico numero h compreso nell'intervallo (a,b) come incremento della variabile indipendente x.
Ora la funzione f(x) assume un nuovo valore.
$$ f(x+h) $$
Rappresento la variazione sul diagramma cartesiano
L'incremento del valore della variabile dipendente, ossia della funzione f(x) è
$$ f(x+h)-f(x) $$
Il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente e quello della variabile indipendente è detto rapporto incrementale.
$$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Nota. Il rapporto incrementale della funzione f(x) è definito per qualsiasi valore di h nell'intervallo (a,b) tranne che per h=0. Quando il denominatore del rapporto è nullo (h=0) si ha una divisione per zero ossia un'operazione matematica indefinita.
Data una funzione f(x) definita un intervallo [A,B], il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta AB.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ y=f(x)=x^2+2x \]
Calcolo il rapporto incrementale nel punto di ascissa \( 2 \) con incremento \( h \).
Applicando la formula del rapporto incrementale:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2+h)-f(2)}{h} \]
Determino \( f(2+h) \) sostituendo \( x =2+h \) nella funzione \( f(x)=x^2+2x \):
\[ f(2+h)=(2+h)^2+2(2+h) \]
Poi sviluppo i calcoli:
\[ f(2+h) =(4+4h+h^2)+4+2h \]
\[ f(2+h) =8+6h+h^2 \]
Determino ora \( f(2) \):
\[ f(2)=2^2+2 \cdot 2 \]
\[ f(2)=4+4=8 \]
Sostituisco le espressioni nella formula del rapporto incrementale:
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{(8+6h+h^2)-8}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{6h+h^2}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{h(6+h)}{h} \]
\[ \frac{f(2+h)-f(2)}{h} =6+h \]
Questa espressione rappresenta il coefficiente angolare della retta secante alla parabola passante per il punto di ascissa \( 2 \), al variare dell’incremento \( h \).
E così via.
