Le funzioni iniettive

Cos'è una funzione iniettiva

Una funzione matematica f(x) è detta iniettiva se ogni coppia di elementi distinti x1 e x2 dell'insieme di definizione (dominio) sono associate immagini distinte f(x1) e f(x2) nel codominio $$ se \: x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$ e se a ogni coppia di elementi uguali è associata la stessa immagine $$ se \: x_1 = x_2 \Rightarrow f(x_1) = f(x_2) $$

Utilizzando i diagrammi di Venn il concetto di iniettività diventa più chiaro.

un esempio di funzione iniettiva

In alternativa si può dire che una funzione è iniettiva da A e B se gni elemento dell'insieme A ha un'immagine distinta nell'insieme B.

L'insieme A è il dominio della funzione matematica f(x) mentre l'insieme B è il codominio.

Nota. La definizione matematica formale di funzione iniettiva è la seguente: $$ \forall \ x_1 , x_2 \ \in D_f \ | \ x_1 \ne x_2 \Rightarrow \ f(x_1) \ne f(x_2) $$ Per ogni coppia di numeri x1, x2 del dominio Df la funzione f(x), diversi tra loro x1≠x2, la funzione ha immagini diverse f(x1)≠f(x2)

Ovviamente l'insieme di arrivo B non è detto che coincida con il codominio della funzione, perché alcuni elementi di B potrebbero non essere l'immagine di un elemento di A.

Pertanto, il codominio (C) della funzione potrebbe anche essere un sottoinsieme di B.

la funzione è suriettiva

    Un esempio pratico

    Esempio 1

    Questa funzione definita nell'insieme dei numeri reali R è una funzione inettiva

    $$ f(x) = x+1 $$

    perché per ogni x di R esiste un valore y diverso della f(x)

    x y=f(x)
    x=-3 -2
    x=-2 -1
    x=-1 0
    x=0 1
    x=1 2
    x=2 3
    x=3 4

    Tutti gli elementi x del dominio hanno immagini distinte y=f(x) tra loro.

    un esempio di funzione iniettiva

    Nota. Dal punto di vista geometrico una funzione è iniettiva se ogni retta parallela all'asse dell'ascissa interseca il grafico della funzione al più in un punto. Pertanto, la retta può intersecare una sola volta oppure non intersecare affatto il grafico della funzione.
    il grafico di una funzione iniettiva
    Questo equivale a dire che ogni punto (x) del dominio della funzione ha una e una sola immagine (y) nel codominio, distinta da quella di tutti gli altri punti del dominio.

    Esempio 2

    Questa funzione non è una funzione inettiva

    $$ f(x) = x^2 $$

    perché gli elementi x del dominio non hanno immagini f(x) distinte tra loro

    x y=f(x)
    x=-3 9
    x=-2 4
    x=-1 1
    x=0 0
    x=1 1
    x=2 4
    x=3 9

    Ad esempio, il valore y=4 è ottenuto sia con x=-2 che con x=+2.

    un esempio di funzione non iniettiva

    Nota. Dal punto di vista geometrico una funzione non è iniettiva se esiste una retta parallela all'asse dell'ascissa che interseca il grafico della funzione y=f(x) in più di un punto. Se questo accade vuol dire che due punti diversi x1, x2 del dominio hanno la stessa immagine (y).
    come verificare se una funzione è iniettiva

    E così via.

     


     

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