Le funzioni suriettive

Cos'è una funzione suriettiva

Una funzione matematica è detta funzione suriettiva (o surgettiva) se ogni elemento del codominio è un'immagine di almeno un elemento del dominio. $$ \forall \: y \: \exists \: x \: \:\: f(x)=y $$

Con i diagrammi di Venn il concetto di suriettività dovrebbe essere più chiaro.

Ogni elemento del codominio (B) della funzione è raggiungibile da almeno un elemento del dominio (A) della funzione suriettiva.

esempio di funzione suriettiva

In simboli una funzione f è suriettiva se

$$ \forall \ y \in B \ \ \exists \ \ x \in \ A \ \ | \ \ f(x)=y $$

Nota. Non occorre che ci sia un solo elemento x ∈ A per ogni y ∈ B. Un elemento del codominio (B) potrebbe essere anche raggiunto da più di un elemento del dominio. L'importante è che ogni elemento y del codominio sia raggiungibile da qualche elemento dell'insieme del dominio tramite la funzione f(x).
altro esempio di funzione suriettiva

Quindi, ogni elemento di B (codominio) ha almeno una controimmagine nell'insieme A (dominio).

un esempio di funzione suriettiva

Se una funzione è suriettiva l'insieme di arrivo B è uguale al codominio della funzione.

Pertanto, la suriettività della funzione dipende da quale insieme di arrivo scelgo per la funzione.

Nota. Posso sempre rendere una funzione suriettiva se non lo è. Per farlo mi basta restringere l'insieme di arrivo B all'insieme delle immagini della f(x), ossia al codominio della funzione. Ad esempio, la funzione y=f(x)=2x non è suriettiva se l'insieme di arrivo è B, perché l'elemento 10 non è il doppio di nessun elemento dell'insieme A.
la funzione suriettiva
Tuttavia, se restringo l'insieme di arrivo all'insieme delle immagini C={ 2, 6, 8 }, ossia al codominio, la funzione y=f(x)=2x diventa suriettiva.
la funzione è suriettiva

Esempio

Ad esempio, questa funzione è suriettiva nell'intervallo y∈[a,b] perché per ogni valore y esiste almeno una controimmagine x.

un esempio di funzione suriettiva

La stessa funzione non è suriettiva nell'intervallo y∈[0,b] perché nel tratto [0,a] gli elementi di y non hanno alcuna controimmagine x.

Pertanto, per rendere suriettiva la funzione f(x) è sufficiente considerare l'intervallo [a,b] delle immagini come insieme di arrivo anziché l'intervallo [0,b].

Restringendo l'insieme di arrivo all'insieme delle immagini [a,b] la funzione f(x) diventa suriettiva.

    Un esempio pratico

    Esempio 1

    Se considero il dominio e il codominio della funzione coincidenti con l'insieme reale R

    $$ f: R \rightarrow R $$

    la seguente funzione reale è suriettiva

    $$ f(x) = x+1 $$

    perché ogni elemento del codominio y∈R è ottenibile tramite la funzione con almeno un elemento x∈R.

    x y=f(x)
    x=-3 -2
    x=-2 -1
    x=-1 0
    x=0 1
    x=1 2
    x=2 3
    x=3 4

    Tutti gli elementi y sono collegati con almeno un elemento x

    un esempio di funzione iniettiva

    Quindi, la funzione f(x)=x+1 è suriettiva nell'insieme dei numeri reali.

    esempio di funzione suriettiva

    Esempio 2

    Se considero il dominio e il codominio della funzione coincidenti con l'insieme reale R

    $$ f: R \rightarrow R $$

    questa funzione reale non è suriettiva

    $$ f(x) = x^2 $$

    perché alcuni elementi del codominio y∈R non sono raggiungibili da nessun elemento x∈R.

    x y=f(x)
    x=-3 9
    x=-2 4
    x=-1 1
    x=0 0
    x=1 1
    x=2 4
    x=3 9

    Ad esempio, gli elementi negativi y<0 non sono raggiungibili da nessun x con la funzione f(x)=x2.

    Nessun numero x elevato al quadrato dà come risultato -2 o -3.

    un esempio di funzione non suriettiva

    Quindi, la funzione f(x)=x2 non è suriettiva se considero come insieme di arrivo l'insieme dei numeri reali.

    la funzione non è suriettiva nell'insieme dei numeri reali

    Nota. Per far diventare suriettiva anche la funzione x2 devo considerare un insieme di arrivo più ridotto. Ad esempio, prendendo come insieme di arrivo l'insieme dei numeri reali non negativi R+∪{0} anche la funzione x2 diventa suriettiva. $$ f: R \rightarrow R^+ \cup \{ 0 \} $$ perché ora ogni elemento y=f(x)≥0 dell'insieme di arrivo è raggiungibile da almeno un elemento x dell'insieme di partenza (dominio).
    la funzione diventa suriettiva

    E così via.

     


     

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