Massimo e minimo di una funzione
Il massimo e minimo sono punti in un intervallo x∈[a,b] in cui la funzione y=f(x) registra rispettivamente il valore più grande e più piccolo.
Può essere assoluto o relativo.
- Massimo o minimo assoluto. E' detto massimo/minimo assoluto se il valore della f(x) è il più grande/piccolo dell'intervallo [a,b].
- Massimo o minimo relativo. E' detto massimo/minimo relativo se il valore della f(x) è il più grande/piccolo nell'intorno di un punto x0.
Esempio
Nel punto x1 la funzione f(x) registra un massimo assoluto nell'intervallo [a,b] mentre nel punto x2 un minimo assoluto.
Nei punti x3 e x4, invece, la funzione raggiunge soltanto un massimo e un minimo relativo.
Nota. Oltre a essere un massimo assoluto nell'intervallo [a,b] il punto x1 è anche un massimo relativo nell'intorno x1. Lo stesso vale per il punto x2 che è anche un minimo relativo nell'intorno x2 oltre a essere un minimo assoluto nell'intervallo [a,b].
Massimo e minimo assoluto
Massimo assoluto
Data una funzione \( y=f(x) \) definita nell'intervallo \( I \), il valore \( M=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), si dice massimo assoluto della funzione in \( I \) se \[ f(x_0) \ge f(x) \qquad \forall x \in I \]
In altre parole, \( f(x_0) \) è il massimo assoluto della funzione in \( I \) se nessun altro valore della funzione, nell'intervallo considerato, è maggiore di esso.
Sul diagramma cartesiano il punto di massimo assoluto, se esiste, si trova alle coordinate \( (x_0, M) \) dove \( M =f(x_0) \).
Minimo assoluto
Data una funzione \( y=f(x) \) definita nell'intervallo \( I \), il valore \( m=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), si dice minimo assoluto della funzione in \( I \) se \[ f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in I \]
In altre parole, \( f(x_0) \) è il minimo assoluto della funzione in \( I \) se nessun altro valore della funzione, nell'intervallo considerato, è minore di esso.
Nel piano cartesiano il punto di minimo assoluto, se esiste, si trova alle coordinate \( (x_0, m) \) dove \( m =f(x_0) \).
Nota. L'esistenza del punto di massimo assoluto o del punto di minimo assoluto dipende sia dall'espressione della funzione che dal suo insieme di definizione.
Esempio
Considero la funzione
\[ y=x^2+1 \]
Rispetto al suo insieme di definizione \( I=\mathbb{R} \), la funzione ammette un minimo assoluto nel punto \( x=0 \), poiché
\[ f(0)=1 \]
Non possiede invece alcun massimo assoluto, perché i valori della funzione crescono indefinitamente all'aumentare del valore assoluto di \( x \).
Se invece si considera l'intervallo chiuso \( I=[1,3] \), la funzione ammette sia un minimo assoluto sia un massimo assoluto.
Essendo crescente per \( x \ge 0 \), il minimo assoluto si trova nell'estremo sinistro dell'intervallo e il massimo assoluto nell'estremo destro:
\[ f(1)=2 \qquad \text{(minimo assoluto)} \] \[ f(3)=10 \qquad \text{(massimo assoluto).} \]
Pertanto, nell'intervallo \( [1,3] \), il minimo assoluto è \(2\) e il massimo assoluto è \(10\).
Massimo e minimo relativo
Dato un punto x0 considero tutti i punti compresi in un intorno di ampiezza δ
$$ |x-x_0| < δ $$
Se il valore della f(x0) è il più alto dell'intorno, allora è un massimo relativo.
$$ f(x_0) > f(x) $$
Ad esempio
Se il valore della f(x0) è il più basso dell'intorno, allora è un minimo relativo.
$$ f(x_0) < f(x) $$
Ad esempio
Nota. Nel caso del massimo o minimo relativo la relazione di ordine (maggiore/minore) vale soltanto nell'intorno dei punti x0. Non vale in tutto l'intervallo [a,b] in cui la funzione è definita.
Note
Alcune note a margine sui punti di massimo e minimo di una funzione.
- Teorema di Weierstrass
Se una funzione \( f(x) \) è continua nell'intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \), allora assume sempre un massimo assoluto e un minimo assoluto nell'intervallo. \[ \exists \, x_M, x_m \in [a,b] \; \text{tali che} \; f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] \] In altre parole, esistono almeno due punti dell'intervallo, \( x_M \) e \( x_m \), nei quali la funzione raggiunge rispettivamente il suo valore massimo assoluto e il suo valore minimo assoluto.
E così via.
