Massimo e minimo di una funzione

Il massimo e minimo sono punti in un intervallo x∈[a,b] in cui la funzione y=f(x) registra rispettivamente il valore più grande e più piccolo.

Può essere assoluto o relativo.

• Massimo o minimo assoluto. E' detto massimo/minimo assoluto se il valore della f(x) è il più grande/piccolo dell'intervallo [a,b].
• Massimo o minimo relativo. E' detto massimo/minimo relativo se il valore della f(x) è il più grande/piccolo nell'intorno di un punto x₀.

Esempio

Nel punto x₁ la funzione f(x) registra un massimo assoluto nell'intervallo [a,b] mentre nel punto x₂ un minimo assoluto.

Nei punti x₃ e x₄, invece, la funzione raggiunge soltanto un massimo e un minimo relativo.

Nota. Oltre a essere un massimo assoluto nell'intervallo [a,b] il punto x₁ è anche un massimo relativo nell'intorno x₁. Lo stesso vale per il punto x₂ che è anche un minimo relativo nell'intorno x₂ oltre a essere un minimo assoluto nell'intervallo [a,b].

Massimo e minimo assoluto

Massimo assoluto

Data una funzione \( y=f(x) \) definita nell'intervallo \( I \), il valore \( M=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), si dice massimo assoluto della funzione in \( I \) se \[ f(x_0) \ge f(x) \qquad \forall x \in I \]

In altre parole, \( f(x_0) \) è il massimo assoluto della funzione in \( I \) se nessun altro valore della funzione, nell'intervallo considerato, è maggiore di esso.

Sul diagramma cartesiano il punto di massimo assoluto, se esiste, si trova alle coordinate \( (x_0, M) \) dove \( M =f(x_0) \).

Minimo assoluto

Data una funzione \( y=f(x) \) definita nell'intervallo \( I \), il valore \( m=f(x_0) \), con \( x_0 \in I \), si dice minimo assoluto della funzione in \( I \) se \[ f(x_0) \le f(x) \qquad \forall x \in I \]

In altre parole, \( f(x_0) \) è il minimo assoluto della funzione in \( I \) se nessun altro valore della funzione, nell'intervallo considerato, è minore di esso.

Nel piano cartesiano il punto di minimo assoluto, se esiste, si trova alle coordinate \( (x_0, m) \) dove \( m =f(x_0) \).

Nota. L'esistenza del punto di massimo assoluto o del punto di minimo assoluto dipende sia dall'espressione della funzione che dal suo insieme di definizione.

Esempio

Considero la funzione

\[ y=x^2+1 \]

Rispetto al suo insieme di definizione \( I=\mathbb{R} \), la funzione ammette un minimo assoluto nel punto \( x=0 \), poiché

\[ f(0)=1 \]

Non possiede invece alcun massimo assoluto, perché i valori della funzione crescono indefinitamente all'aumentare del valore assoluto di \( x \).

Se invece si considera l'intervallo chiuso \( I=[1,3] \), la funzione ammette sia un minimo assoluto sia un massimo assoluto.

Essendo crescente per \( x \ge 0 \), il minimo assoluto si trova nell'estremo sinistro dell'intervallo e il massimo assoluto nell'estremo destro:

\[ f(1)=2 \qquad \text{(minimo assoluto)} \] \[ f(3)=10 \qquad \text{(massimo assoluto).} \]

Pertanto, nell'intervallo \( [1,3] \), il minimo assoluto è \(2\) e il massimo assoluto è \(10\).

Massimo e minimo relativo

Dato un punto x₀ considero tutti i punti compresi in un intorno di ampiezza δ

$$ |x-x_0| < δ $$

Se il valore della f(x₀) è il più alto dell'intorno, allora è un massimo relativo.

$$ f(x_0) > f(x) $$

Ad esempio

Se il valore della f(x₀) è il più basso dell'intorno, allora è un minimo relativo.

$$ f(x_0) < f(x) $$

Ad esempio

Nota. Nel caso del massimo o minimo relativo la relazione di ordine (maggiore/minore) vale soltanto nell'intorno dei punti x₀. Non vale in tutto l'intervallo [a,b] in cui la funzione è definita.

I punti di massimo e minimo relativo tramite le derivate

I punti di massimo e minimo relativo di una funzione derivabile, se si trovano all'interno dell'intervallo di definizione, vanno cercati anzitutto tra i punti stazionari, ossia nei punti in cui la derivata prima si annulla.

$$ f'(x)=0 $$

Un punto \(x=c\) è detto punto stazionario della funzione \(f(x)\) se

$$ f'(c)=0 $$

Questo risultato permette di usare la derivata prima per individuare i possibili punti di massimo e minimo relativo di una funzione.

Il teorema di Fermat sui punti stazionari

Sia \(f(x)\) una funzione definita nell'intervallo \([a,b]\) e derivabile nell'intervallo aperto \((a,b)\). Se la funzione ha un massimo o un minimo relativo in un punto \(x_0\) interno all'intervallo, allora $$ f'(x_0)=0 $$

In altre parole, se \(x_0\) è un punto di massimo o minimo relativo e la funzione è derivabile in quel punto, necessariamente \(x_0\) è un punto stazionario.

Il punto deve essere interno all'intervallo. Inoltre, la funzione deve essere derivabile nel punto considerato. Queste due condizioni sono importanti.

Nota. Come vedremo, si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente. Quindi, non tutti i punti stazionari sono punti di massimo o minimo relativo. In un punto stazionario potrebbe esserci, ad esempio, anche un flesso a tangente orizzontale. Inoltre, non tutti i punti di massimo o minimo sono necessariamente punti stazionari. Un massimo o un minimo può trovarsi anche in un punto in cui la funzione non è derivabile oppure agli estremi dell'intervallo di definizione. Pertanto, la condizione $f'(x_0)=0$ è necessaria soltanto se il punto di massimo o minimo relativo è interno all'intervallo e la funzione è derivabile nel punto.

Esempio

Considero la funzione

$$ f(x)=x^2 $$

La funzione è derivabile in tutto l'insieme dei numeri reali.

Calcolo la derivata prima della funzione.

$$ f'(x)=2x $$

Poi verifico dove si annulla $ f'(x)=0 $.

$$ 2x = 0 $$

La funzione si annulla nel punto $ x=0 $ che, pertanto, è un punto stazionario.

Guardando il grafico della funzione si può notare che il punto $ x=0 $ è un punto di minimo relativo della funzione $ f(x)=x^2 $.

La dimostrazione del teorema

Per dimostrare il teorema, considero il caso in cui \(x_0\) sia un punto di massimo relativo di una generica funzione $ f(x) $.

Per definizione, se il punto è un massimo relativo, in un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\) i valori della funzione non possono essere maggiori di \(f(x_0)\).

Quindi, per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\) vale la seguente condizione:

$$ f(x)\leq f(x_0) $$

Posso scrivere un punto vicino a \(x_0\) anche nella forma

$$ x=x_0+h $$

Pertanto

$$ f(x_0+h)\leq f(x_0) $$

e quindi

$$ f(x_0+h)-f(x_0)\leq 0 $$

A questo punto bisogna distinguere due casi.

1] A destra del punto di massimo

Se \(h>0\), dividendo per \(h\) il verso della disuguaglianza non cambia:

$$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 $$

Passando al limite per \(h\to 0^+\) ottengo

$$ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 $$

La derivata destra è quindi minore o uguale a zero.

2] A sinistra del punto di massimo

Se \(h<0\), dividendo per un numero negativo il verso della disuguaglianza cambia:

$$ \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 $$

Passando al limite per \(h\to 0^-\):

$$ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 $$

La derivata sinistra è quindi maggiore o uguale a zero.

3] Conclusione

Poiché la funzione è derivabile in \(x_0\), la derivata destra e quella sinistra devono coincidere.

Pertanto deve essere contemporaneamente

$$ f'(x_0)\leq 0 $$

e

$$ f'(x_0)\geq 0 $$

L'unico valore che soddisfa entrambe le condizioni è zero.

$$ \boxed{f'(x_0)=0} $$

Il ragionamento è analogo nel caso di un minimo relativo.

Una condizione necessaria ma non sufficiente

Bisogna però fare attenzione.

La condizione $ f'(x_0)=0 $ è una condizione necessaria, ma non è sufficiente per affermare che \(x_0\) sia un punto di massimo o minimo relativo.

In altre parole:

• se un punto interno è un massimo o minimo relativo e la funzione è derivabile, allora la derivata deve essere zero;
• se la derivata è zero, non è detto che il punto sia un massimo o un minimo.

Un esempio pratico

Considero la funzione

$$ f(x)=x^3 $$

La sua derivata prima è

$$ f'(x)=3x^2 $$

Cerco i punti stazionari ponendo la derivata uguale a zero:

$$ 3x^2=0 $$

da cui

$$ x=0 $$

Quindi \(x=0\) è un punto stazionario.

Tuttavia,

$$ 3x^2>0 $$

sia per \(x<0\) sia per \(x>0\), escluso naturalmente \(x=0\).

La funzione è quindi crescente sia prima sia dopo il punto \(x=0\).

Pertanto, \(x=0\) non è né un massimo né un minimo relativo.

Il punto è stazionario, ma la funzione continua a crescere attraversandolo.

Questo esempio mostra chiaramente che $ f'(x_0)=0 $ non basta, da sola, per individuare un estremo relativo.

Come riconoscere massimo e minimo con il segno della derivata

Per capire la natura di un punto stazionario è utile studiare il segno della derivata prima prima e dopo il punto.

Se la derivata cambia segno da positivo a negativo,

$$ f'(x)>0 \quad\longrightarrow\quad f'(x)<0 $$

la funzione prima cresce e poi decresce. Il punto è quindi un massimo relativo.

Se invece la derivata cambia segno da negativo a positivo,

$$ f'(x)<0 \quad\longrightarrow\quad f'(x)>0 $$

la funzione prima decresce e poi cresce. Il punto è un minimo relativo.

Se la derivata mantiene lo stesso segno prima e dopo il punto, il punto stazionario non è necessariamente un estremo relativo.

Ad esempio, per \(f(x)=x^3\):

$$ f'(x)>0 \qquad x<0 $$

e

$$ f'(x)>0 \qquad x>0 $$

Non c'è alcun cambiamento tra crescita e decrescita. Quindi \(x=0\) non è un estremo relativo.

Cosa accade agli estremi dell'intervallo?

Il teorema riguarda esclusivamente i punti interni all'intervallo.

Un estremo dell'intervallo può essere un massimo o un minimo anche se la derivata non è uguale a zero.

Considero, ad esempio, la funzione seguente nell'intervallo $ [1,3] $

$$ f(x)=2x-1 $$

La derivata della funzione è una costante positiva.

$$ f'(x)=2 $$

Quindi. la derivata è sempre diversa da zero.

Tuttavia, essendo la funzione crescente nell'intero intervallo, l'estremo inferiore $ f(1)=1 $ è il valore minimo nell'intervallo,  mentre l'estremo superiore $ f(3)=5 $ è il valore massimo.

Quindi \(x=1\) e \(x=3\) sono rispettivamente i punti di minimo e di massimo nell'intervallo $ [1,3] $ pur essendo le derivate diverse da zero.

$$ f'(1)=f'(3)=2\neq 0 $$

Non c'è alcuna contraddizione con il teorema, perché \(1\) e \(3\) sono gli estremi dell'intervallo e non punti interni.

I punti in cui la funzione non è derivabile

Un massimo o un minimo relativo può trovarsi anche in un punto nel quale la derivata non esiste.

Un semplice esempio è la funzione seguente:

$$ f(x)=|x| $$

Questa funzione ha un minimo relativo e assoluto in $ x=0 $ perché $ |x|\geq 0 $ per ogni \(x\).

Tuttavia, in \(x=0\) il grafico presenta uno spigolo e la derivata non esiste.

Infatti, in $ x=0 $ la derivata sinistra e quella destra della funzione sono diverse:

$$ f'_-(0)=-1 \qquad f'_+(0)=1 $$

Pertanto, anche i punti nei quali la funzione è continua ma non derivabile devono essere controllati quando si cercano massimi e minimi.

Come cercare i possibili punti di massimo e minimo?

Data una funzione \(f(x)\) definita in un intervallo \([a,b]\), i possibili punti di massimo o minimo vanno quindi ricercati considerando tre categorie di punti:

1. I punti stazionari, nei quali

   $$ f'(x)=0 $$

2. Gli estremi dell'intervallo

   $$ x=a \qquad\text{e}\qquad x=b $$

3. I punti in cui la funzione non è derivabile, purché appartengano al dominio della funzione.

Questi sono i punti candidati a essere estremanti.

Una volta individuati, bisogna verificare la loro natura studiando il comportamento della funzione, ad esempio tramite il segno della derivata prima.

In conclusione, l'equazione $ f'(x)=0 $ non individua automaticamente massimi e minimi. Individua i punti stazionari, ossia una parte dei punti che devono essere analizzati.

Il passaggio successivo consiste nel verificare se, attraversando ciascun punto, la funzione passa da crescente a decrescente, da decrescente a crescente oppure mantiene lo stesso andamento.

Note

Alcune note a margine sui punti di massimo e minimo di una funzione.

• Teorema di Weierstrass
  Se una funzione \( f(x) \) è continua nell'intervallo chiuso e limitato \( [a,b] \), allora assume sempre un massimo assoluto e un minimo assoluto nell'intervallo. \[ \exists \, x_M, x_m \in [a,b] \; \text{tali che} \; f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] \] In altre parole, esistono almeno due punti dell'intervallo, \( x_M \) e \( x_m \), nei quali la funzione raggiunge rispettivamente il suo valore massimo assoluto e il suo valore minimo assoluto.

E così via.