Il codominio di una funzione

Il codominio di una funzione o relazione $$ f:X \rightarrow Y $$ è l'insieme Y.

L'insieme X è invece detto dominio della funzione

Il sottoinsieme del codominio composto dai valori effettivamente assunti dalla funzione f è detto immagine della funzione e si indica con il simbolo Im(f).

$$ Im(f) \subseteq Y $$

In generale l'immagine della funzione non è detto che coincida con il codominio.

    Un esempio pratico

    Considero due insiemi finiti X e Y

    $$ X = \{1,2,3,4,5 \} $$

    $$ Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $$

    e la relazione

    $$ f: y = x^2 $$

    Il codominio della relazione è l'insieme Y

    $$ Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $$

    L'immagine della funzione è un sottoinsieme del codominio

    $$ Im(f) = \{1,4,9 \} \subseteq X $$

    Sono gli elementi di Y uguali al quadrato di un elemento dell'insieme X.

    il dominio e il codominio

    $$ f: 1^2 \rightarrow 1 $$

    $$ f: 2^2 \rightarrow 4 $$

    $$ f: 3^2 \rightarrow 9 $$

    Esempio 2

    Considero la funzione reale

    $$ f: y = \sin(x) $$

    Sia il dominio che il codominio corrispondono all'insieme dei numeri reali

    $$ f: R \rightarrow R $$

    In questo caso l'insieme di definizione è uguale al dominio perché la funzione y=sin(x) è definita in tutto l'insieme dei numeri reali (R).

    Viceversa, l'immagine non corrisponde al codominio perché tutte le immagini sono valori compresi nell'intervallo [-1,1].

    E così via.

     


     

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