Il codominio di una funzione
Il codominio di una funzione o relazione $$ f:X \rightarrow Y $$ è l'insieme Y.
L'insieme X è invece detto dominio della funzione
Il sottoinsieme del codominio composto dai valori effettivamente assunti dalla funzione f è detto immagine della funzione e si indica con il simbolo Im(f).
$$ Im(f) \subseteq Y $$
In generale l'immagine della funzione non è detto che coincida con il codominio.
Un esempio pratico
Considero due insiemi finiti X e Y
$$ X = \{1,2,3,4,5 \} $$
$$ Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $$
e la relazione
$$ f: y = x^2 $$
Il codominio della relazione è l'insieme Y
$$ Y = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} $$
L'immagine della funzione è un sottoinsieme del codominio
$$ Im(f) = \{1,4,9 \} \subseteq X $$
Sono gli elementi di Y uguali al quadrato di un elemento dell'insieme X.
$$ f: 1^2 \rightarrow 1 $$
$$ f: 2^2 \rightarrow 4 $$
$$ f: 3^2 \rightarrow 9 $$
Esempio 2
Considero la funzione reale
$$ f: y = \sin(x) $$
Sia il dominio che il codominio corrispondono all'insieme dei numeri reali
$$ f: R \rightarrow R $$
In questo caso l'insieme di definizione è uguale al dominio perché la funzione y=sin(x) è definita in tutto l'insieme dei numeri reali (R).
Viceversa, l'immagine non corrisponde al codominio perché tutte le immagini sono valori compresi nell'intervallo [-1,1].
E così via.