La funzione continua
Una funzione f(x) è detta funzione continua in un punto x0 se è definita in x0, cioé se esiste in $ f(x_0) $, e se il limite della funzione per x che tende a x0 è finito ed è uguale a f(x0). $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$
L'esistenza del limite finito per $ x \to x_0 $ implica che il limite destro e sinistro sono uguali.
$$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) $$
Il grafico una funzione continua si presenta con un tratto continuo e senza alcuna interruzione.
La continuità agli estremi di un intervallo. Quando la continuità si verifica solo nel caso del limite destro o del limite sinistro, come accade agli estremi di un intervallo, si parla rispettivamente di funzione continua a destra o a sinistra.
- Se $ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) $ la funzione è continua a destra
- Se $ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) $ la funzione è continua a sinistra
Un esempio pratico
Ho la funzione
$$ f(x) = x^2 $$
Verifico se la funzione è continua in x0=2.
$$ \lim_{x \rightarrow 2} x^2 = 4 $$
Nel punto x0=2 la funzione ha valore quattro
$$ f(2) = 4 $$
Il limite e la funzione coincidono
$$ \lim_{x \rightarrow 2} x^2 = f(2) $$
Pertanto, la funzione x2 è continua nel punto x0=2.
Quando il limite esiste ed è finito, non importa se ci si avvicina a destra o da sinistra a $ x_0 = 2 $, perché il limite destro e sinistro coincidono.
$$ \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4 $$
$$ \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 $$
Lo stesso si può dire per qualsiasi altro punto x del campo di esistenza (-∞,∞) della funzione.
Le funzioni continue in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo [a,b] se è continua in tutti i punti dell'intervallo.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \:\:\: \forall x_0 \in [a,b] $$
Dire che una funzione è continua in un intervallo equivale a dire che è possibile disegnare il grafico della funzione senza mai staccare la penna dal foglio.
La continuità agli estremi dell'intervallo
Nel caso particolare degli estremi dell'intervallo si calcola soltanto il limite destro per l'estremo iniziale a
$$ \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) $$
e il limite sinistro per l'estremo terminale b
$$ \lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = f(b) $$
Esempio
Considero la funzione nell’intervallo [0,2].
\[ f(x) = x^2 \]
La funzione è definita in tutti i punti dell’intervallo.
Per ogni \( x_0 \in [0,2] \) vale
\[ \lim_{x \to x_0} x^2 = x_0^2 = f(x_0) \]
Quindi la funzione è continua in tutto l’intervallo [0,2].
Anche agli estremi la funzione soddisfa la definizione di continuità.
All’estremo iniziale \( 0 \) il limite destro è uguale al valore della funzione $ f(0) $
\[ \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 = f(0) \]
All’estremo finale \( 2 \) il limite sinistro è uguale al valore della funzione $ f(2) $
\[ \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4 = f(2) \]
Quindi, la funzione \( f(x) = x^2 \) è continua in tutto l’intervallo \( [0,2] \), perché non presenta salti, interruzioni o punti non definiti.
E così via.
