Funzione limitata e illimitata

Cos'è una funzione limitata?

Una funzione limitata è una funzione che assume valori f(x) limitati tra un minimo e massimo.
esempio di funzione reale
Dal punto di vista geometrico il grafico di una funzione limitata è racchiuso tra due rette parallele all'asse delle ascisse.

In una funzione limitata l'insieme delle immagini è limitato tra due numeri reali:

  • Il minimo. Il valore più basso della funzione f(x) in un intervallo [a,b]
  • Il massimo. Il valore più alto della funzione f(x) in un intervallo [a,b]

Se non è possibile trovare due numeri reali che limitino l'insieme delle immagini, la funzione è detta funzione illimitata.

Esempio di funzione illimitata. La funzione x3 è una funzione illimitata. Non ha un minimo, né un massimo.
un esempio di funzione illimitata

Una funzione limitata è limitata sia inferiormente che superiormente.

Un esempio pratico

Prendo in considerazione la funzione seno

$$ f(x) = \sin(x) $$

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali

$$ Dom(f)=R $$

L'immagine della funzione è un insieme infinito di valori compresi nell'intervallo chiuso [-1,1]

$$ Im(f) = [-1,1] $$

L'insieme delle immagini è limitato sia inferiormente che superiormente.

la funzione seno è una funzione limitata

La funzione f(x) ha sia un valore massimo che un valore minimo

$$ M=1 $$

$$ m=-1 $$

Pertanto, la funzione seno è una funzione limitata nel suo dominio.

Funzione limitata superiormente

Una funzione f(x) definita nell'intervallo (a,b) è limitata superiormente se almeno una di queste condizioni è soddisfatta:

  1. esiste un numero reale M tale che f(x)≤M per ogni x ∈ (a,b).
  2. l'immagine della funzione f(x) è un insieme limitato superiormente
  3. l'immagine della funzione f(x) ha un estremo superiore finito $$ sup(Im(f))<+∞ $$

Se nessuna delle condizioni è soddisfatta, la funzione è illimitata superiormente.

Esempio. Un esempio di funzione limitata superiormente. La f(x) ha un valore massimo (M).
un esempio di funzione limitata superiormente

Funzione illimitata superiormente

Una funzione f(x) definita in (a,b) è illimitata superiormente nel suo dominio se almeno una delle seguenti condizioni è soddisfatta

  1. per ogni M>0 esiste un x ∈ (a,b) tale che f(x)>M
  2. l'immagine di f(x) è un insieme illimitato superiormente
  3. l'immagine di f(x) ha un estremo superiore infinito $$ sup(Im(f))=+∞ $$

Esempio. Un esempio di funzione illimitata superiormente.
esempio di funzione illimitata superiormente

Funzione limitata inferiormente

Una funzione f(x) definita nell'intervallo (a,b) è limitata inferiormente se almeno una di queste condizioni è soddisfatta:

  1. esiste un numero reale m tale che f(x)≥m per ogni x ∈ (a,b).
  2. l'immagine della funzione f(x) è un insieme limitato inferiormente
  3. l'immagine della funzione f(x) ha un estremo inferiore finito $$ inf(Im(f))>-∞ $$

Se nessuna delle condizioni è soddisfatta, la funzione è illimitata inferiormente.

Esempio. Un esempio di funzione limitata inferiormente. La funzione ha un valore minimo (m).
un esempio di funzione limitata inferiormente

Funzione illimitata inferiormente

Una funzione f(x) definita in (a,b) è illimitata inferiormente nel suo dominio se almeno una delle seguenti condizioni è soddisfatta

  1. per ogni m di R esiste un x ∈ (a,b) tale che f(x)<m
  2. l'immagine di f(x) è un insieme illimitato inferiormente
  3. l'immagine di f(x) ha un estremo inferiore infinito $$ inf(Im(f))=-∞ $$

Esempio. Un esempio di funzione illimitata inferiormente.
esempio di funzione illimitata inferiormente

E così via.

 


 

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