La funzione direttamente proporzionale
Una funzione con proporzionalità diretta si scrive nella forma $$ y = k \cdot x $$ Dove k è una costante reale diversa da zero (k≠0).
Le variabili x e y sono dette direttamente proporzionali.
Le funzioni con proporzionalità diretta hanno le seguenti caratteristiche.
- Il rapporto tra le variabili k=y/x è costante per ogni valore assegnato alla variabile x, fatta eccezione per il caso x=0. $$ k = \frac{y}{x} $$
- Se una variabile è nulla (x=0) anche l'altra è nulla (y=0).
Nota. Ne consegue che una funzione direttamente proporzionale passa sempre per l'origine (0;0) perché se x è uguale a zero (x=0) anche y è uguale a zero (y=0). Quindi, il grafico di una funzione con proporzionalità diretta passa sempre per l'origine O degli assi. Ecco un esempio pratico di funzione direttamente proporzionale.
Un esempio pratico
Considero la funzione
$$ y = 2x $$
Costruisco la tabella dei valori
$$ \begin{array}{c|c} x & y & y/x \\ \hline -1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & - \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 6 & 2 \end{array} $$
Verifico se la funzione soddisfa le proprietà delle funzioni direttamente proporzionali
- Per qualsiasi valore della x diverso da zero (x≠0) il rapporto y/x è sempre costante ed è pari a 2
- Il grafico della funzione passa per l'origine degli assi (0;0).
Tutte le proprietà sono soddisfatte
Quindi, la funzione y=-2x è una funzione direttamente proporzionale.
Nota. In questo caso il rapporto è 1:2 perché la variabile y ha un incremento pari a due volte quello della variabile x.
Esempio 2
Considero la funzione
$$ y=2x-1 $$
Costruisco la tabella dei valori.
$$ \begin{array}{c|c} x & y & y/x \\ \hline -1 & -3 & 3 \\ 0 & \color{red}{-1} & - \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1,5 \\ 3 & 5 & 1,66 \end{array} $$
In questo caso, pur essendo una retta, la funzione non è direttamente proporzionale perché non passa per l'origine (0;0) degli assi.
Inoltre, il rapporto k=y/x non è costante.
E così via
