La concavità di una funzione
Data una funzione \( y=f(x) \), definita e derivabile in un intervallo \( I \), in ogni punto interno \(x_0 \) dell'intervallo esiste una retta tangente al grafico della funzione, che indico con \(y=t(x) \). Confrontando la posizione del grafico rispetto alla tangente è possibile stabilire se la funzione ha la concavità verso l'alto oppure verso il basso.
- La concavità verso l'alto
Si dice che il grafico della funzione ha la concavità verso l'alto nel punto \(x_0 \) se esiste un intorno completo \(I_{x_0} \) di \(x_0 \) tale che, per ogni punto dell'intorno diverso da \(x_0 \), il grafico si trova al di sopra della retta tangente. \[ f(x)>t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] In questo caso la retta tangente rimane al di sotto del grafico della funzione. Una funzione con concavità verso l'alto è detta anche funzione convessa.
- La concavità verso il basso
Si dice che il grafico della funzione ha la concavità verso il basso nel punto \( x_0 \) se esiste un intorno completo \(I_{x_0} \) di \(x_0 \) tale che, per ogni punto dell'intorno diverso da \(x_0 \), il grafico si trova al di sotto della retta tangente. \[ f(x)<t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] In questo caso la retta tangente rimane al di sopra del grafico della funzione. Una funzione con concavità verso il basso è detta semplicemente funzione concava.
In altre parole, la concavità descrive il modo in cui il grafico di una funzione si incurva in un punto.
Per stabilire quale tipo di concavità si confronta il grafico della funzione con la sua retta tangente.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
Nel punto \( x_0=0 \) la tangente coincide con l'asse \( x \), cioè con la retta
\[ y=0 \]
In un intorno dell'origine si ha
\[ x^2>0 \qquad (x\neq0) \]
Pertanto il grafico della parabola si trova sempre al di sopra della tangente. La funzione ha quindi la concavità verso l'alto.
Esempio 2
Considero la funzione
\[ f(x)=-x^2 \]
Nel punto \( x_0=0 \) la retta tangente è ancora
\[ y=0 \]
Per ogni punto dell'intorno dell'origine diverso da zero risulta
\[ -x^2<0 \]
Il grafico della funzione si trova quindi al di sotto della tangente e la concavità è rivolta verso il basso.
Come riconoscere la concavità
Dal punto di vista geometrico è sufficiente osservare la posizione del grafico rispetto alla retta tangente.
- Se il grafico è al di sopra della tangente, la concavità è verso l'alto.
- Se il grafico è al di sotto della tangente, la concavità è verso il basso.
Questa interpretazione geometrica è alla base del criterio analitico della derivata seconda, che permette di determinare la concavità senza confrontare direttamente il grafico con la tangente.
Nella pratica, però, questo metodo è poco conveniente perché richiederebbe di studiare la posizione relativa tra la funzione e la tangente in ogni punto.
Per questo motivo, nello studio di funzione si utilizza quasi sempre un criterio analitico basato sulla derivata seconda.
Il criterio della derivata seconda
Se la funzione è definita e continua in un intervallo \( I \) e derivabile due volte, il segno della derivata seconda permette di stabilire direttamente la concavità del grafico in un punto \( x \) dell'intervallo \( I \).
- Se \( f''(x)>0 \) la funzione ha la concavità verso l'alto (convessità).
- Se \( f''(x)<0 \) la funzione ha la concavità verso il basso.
Lo studio del segno della derivata seconda è il metodo più semplice ed efficace per determinare la concavità di una funzione e individuare gli eventuali punti di flesso.
Esempio
Considero la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
Senza guardare il grafico, calcolo la derivata prima della funzione:
\[ f'(x)=2x \]
Poi calcolo la derivata seconda.
\[ f''(x)=2 \]
In questo caso la derivata seconda è costante e positiva per ogni valore di \(x \):
\[ f''(x)=2>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
Poiché la derivata seconda è sempre positiva, il grafico della funzione ha la concavità verso l'alto in tutto il dominio.
Nota. Questo risultato è coerente con l'andamento della parabola \(y=x^2 \), il cui grafico è sempre rivolto verso l'alto e in ogni punto del grafico la retta tangente si trova al di sotto della parabola.
Esempio 2
Considero ora la funzione
\[ f(x)=-x^2 \]
Calcolo la derivata prima:
\[ f'(x)=-2x \]
Poi calcolo la derivata seconda:
\[ f''(x)=-2 \]
La derivata seconda è costante e negativa per ogni valore di \(x \):
\[ f''(x)=-2<0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
Poiché la derivata seconda è sempre negativa, il grafico della funzione ha la concavità verso il basso in tutto il dominio.
Nota. Anche questo risultato è coerente con l'andamento della parabola \( y=-x^2 \), il cui grafico è sempre rivolto verso il basso. In ogni punto del grafico la retta tangente si trova al di sopra della parabola.
In generale, per studiare la concavità di una funzione è quindi sufficiente determinare la derivata seconda e analizzarne il segno nei vari intervalli del dominio.
La dimostrazione
Sia \(y=f(x)\) una funzione dotata di derivata seconda continua in un intervallo aperto \(I\), e sia \(x_0\) un punto interno all'intervallo.
Voglio dimostrare che:
- Se \(f''(x_0)>0\), il grafico della funzione ha la concavità rivolta verso l'alto in un intorno di \(x_0\).
- Se \(f''(x_0)<0\), il grafico della funzione ha la concavità rivolta verso il basso in un intorno di \(x_0\).
Considero il punto del grafico di coordinate:
\[ P=(x_0,f(x_0)) \]
L'equazione della retta tangente al grafico nel punto \(P\) è:
\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]
Esplicito \(y\) e ottengo:
\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \]
A questo punto definisco una funzione temporanea \( t(x)=y \) che rappresenta l'ordinata della retta tangente
\[ t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \]
Poi definisco una funzione ausiliaria \(g(x)\) che rappresenta la differenza tra l'ordinata della curva e quella della retta tangente:
\[ g(x)=f(x)-t(x) \]
Sostituisco l'espressione \( t(x) =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \) della tangente:
\[ g(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)] \]
\[ g(x)=f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) \]
Per l'ipotesi iniziale la funzione \(g(x)\) è derivabile due volte.
La derivata prima è:
\[ g'(x)=f'(x)-f'(x_0) \]
La derivata seconda è:
\[ g''(x)=f''(x) - \frac{d}{dx}[f'(x_0)] \]
Poiché \(x_0\) è un valore fissato, \(f'(x_0)\) è una costante rispetto alla variabile \(x\). La sua derivata è quindi nulla \( \frac{d}{dx}[f'(x_0)]=0 \).
\[ g''(x)=f''(x) - 0 \]
\[ g''(x)=f''(x) \]
Inoltre, nel punto \(x_0\) la differenza \( g(x) \) è nulla perché la curva e la tangente passano per lo stesso punto \( P \).
\[ g(x_0)=0 \]
Poiché la retta è tangente alla curva nel punto \(P\), le due funzioni hanno in \(x_0\) la stessa derivata prima \( f'(x_0)=t'(x_0) \).
Pertanto, la derivata della loro differenza è nulla.
\[ g'(x_0)=f'(x_0)-t'(x_0)=0 \]
Queste due condizioni, \( g(x_0) = 0 \) e \( g'(x_0) = 0 \), mi permettono di studiare la posizione del grafico rispetto alla tangente.
1] Primo caso: derivata seconda positiva
Suppongo per ipotesi che la derivata seconda sia positiva:
\[ f''(x_0)>0 \]
Sapendo che
\[ g'(x_0)=f'(x_0)-t'(x_0) \]
Calcolo la derivata seconda.
\[ g''(x_0)=f''(x_0)-t''(x_0) \]
Poiché \( t(x_0) \) rappresenta una retta, la sua derivata prima \( t'(x_0) \) è costante. Di conseguenza, la sua derivata seconda \( t''(x_0)=0 \) è nulla.
\[ g''(x_0)=f''(x_0)-0 \]
Da questo consegue che
\[ g''(x_0)=f''(x_0) \]
Poiché \(g''(x)=f''(x)\) e la derivata seconda è continua, si ha:
\[ \lim_{x\to x_0}g''(x)=g''(x_0)=f''(x_0)>0 \]
Sapendo che per l'ipotesi iniziale \( f''(x_0)>0 \), per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno \(I_{x_0}\) di \(x_0\) nel quale:
\[ g''(x)>0 \]
Questo significa che la derivata prima \(g'(x)\) è strettamente crescente nell'intorno considerato.
Poiché \(g'(x_0)=0\) e \( g'(x) \) è crescente, deduco che:
\[ g'(x)<g'(x_0)=0 \quad \text{se }x<x_0 \]
\[ g'(x)>g'(x_0)=0 \quad \text{se }x>x_0 \]
Pertanto, la funzione \(g(x)\) è decrescente a sinistra di \(x_0\) e crescente a destra.
\[ g'(x)<0 \quad \text{se }x<x_0 \]
\[ g'(x)>0 \quad \text{se }x>x_0 \]
Per il criterio della derivata prima, \(x_0\) è un punto di minimo relativo stretto per \(g(x)\).
Essendo \(g(x_0)=0\), segue che la differenza \( g(x) \) tra la curva e la tangente è positiva per ogni \(x\neq x_0\) appartenente a un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\):
\[ g(x)>g(x_0)=0 \]
ossia
\[ g(x)>0 \]
Ricordando che \( g(x)=f(x)-t(x) \) ottengo:
\[ f(x)-t(x)>0 \]
e quindi:
\[ f(x)>t(x) \]
Quindi, il grafico della funzione si trova localmente al di sopra della retta tangente.
Questo dimostra che, se \(f''(x_0)>0\), la concavità del grafico è rivolta verso l'alto.
2] Secondo caso: derivata seconda negativa
Suppongo ora che la derivata seconda sia negativa:
\[ f''(x_0)<0 \]
Ho già dimostrato precedentemente che
\[ g''(x_0) = f''(x_0) \]
Sapendo che per ipotesi \( f''(x_0)<0 \)
\[ g''(x_0) = f''(x_0) < 0 \]
Deduco che
\[ g''(x_0) < 0 \]
Quindi, per la continuità della derivata seconda e il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno \(I_{x_0}\) nel quale:
\[ g''(x)=f''(x)<0 \]
Di conseguenza, la derivata prima \(g'(x)\) è strettamente decrescente.
Poiché \(g'(x_0)=0\), si ha:
\[ g'(x)>g'(x_0)=0 \quad \text{se }x<x_0 \]
\[ g'(x)<g'(x_0)=0 \quad \text{se }x>x_0 \]
La funzione \(g(x)\) è quindi crescente a sinistra di \(x_0\) e decrescente a destra.
\[ g'(x)>0 \quad \text{se }x<x_0 \]
\[ g'(x)<0 \quad \text{se }x>x_0 \]
Per il criterio della derivata prima, \(x_0\) è un punto di massimo relativo stretto per \(g(x)\).
Essendo \(g(x_0)=0\), segue che la differenza tra la curva e la tangente è \( g(x) < 0 \) per ogni \(x\neq x_0\) appartenente a un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\).
\[ g(x)<g(x_0)=0 \]
ossia
\[ g(x) < 0 \]
Sapendo che \( g(x) = f(x)-t(x) \)
\[ f(x)-t(x)<0 \]
Pertanto, ottengo:
\[ f(x)<t(x) \]
Quindi, il grafico della funzione si trova localmente al di sotto della retta tangente.
Questo dimostra che, se \(f''(x_0)<0\), la concavità del grafico è rivolta verso il basso.
Il teorema è così dimostrato in entrambi i casi.
Il criterio delle derivate successive per la concavità
Considero una funzione \(y=f(x)\) con derivate continue fino all'ordine \(n\) in un intervallo aperto contenente \(x_0\). Suppongo che le derivate dalla seconda fino all'ordine \(n-1\) siano nulle: \[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \] Il comportamento della concavità dipende dalla parità di \(n\) e dal segno di questa derivata. Le conclusioni valgono in un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\).
Se \(n\) è pari, la concavità mantiene lo stesso verso a sinistra e a destra di \(x_0\):
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), la concavità è rivolta verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), la concavità è rivolta verso il basso.
Se \(n\) è dispari, la concavità cambia attraversando \(x_0\) da sinistra verso destra:
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), passa dal basso verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), passa dall'alto verso il basso.
Quindi, quando \(n\) è dispari, il punto \((x_0,f(x_0))\) è un punto di flesso; quando \(n\) è pari, non lo è.
Questo criterio mi permette di determinare la concavità quando anche la derivata seconda si annulla in un punto.
Esempio
Considero la funzione:
\[ f(x)=x^4+2x \]
Per studiare la concavità, calcolo le prime due derivate:
\[ f'(x)=4x^3+2,\qquad f''(x)=12x^2 \]
La derivata seconda si annulla soltanto in \(x_0=0\). Per capire come si comporta la concavità vicino a questo punto, applico il criterio delle derivate successive:
\[ f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24 \]
Nel punto \(x_0=0\) la derivata terza si annulla mentre la derivata quarta è diversa da zero.
\[ f''(0)=f'''(0)=0,\qquad f^{(4)}(0)=24>0 \]
Quindi, la prima derivata non nulla tra quelle di ordine almeno due è di ordine 4, un numero pari, ed è positiva.
Questo significa che la concavità è rivolta verso l'alto su entrambi i lati di \(0\), nelle vicinanze del punto. Non essendoci un cambiamento di concavità, \((0,0)\) non è un punto di flesso.
Per completare lo studio sull'intero dominio, osservo che:
\[ f''(x)=12x^2>0\qquad \text{per ogni }x\neq 0 \]
La funzione ha quindi la concavità rivolta verso l'alto su tutto \(\mathbb{R}\), anche se la derivata seconda si annulla nel punto \(x=0\).
E così via.
