La concavità di una funzione
Data una funzione \( y=f(x) \), definita e derivabile in un intervallo \( I \), in ogni punto interno \(x_0 \) dell'intervallo esiste una retta tangente al grafico della funzione, che indico con \(y=t(x) \). Confrontando la posizione del grafico rispetto alla tangente è possibile stabilire se la funzione ha la concavità verso l'alto oppure verso il basso.
- La concavità verso l'alto
Si dice che il grafico della funzione ha la concavità verso l'alto nel punto \(x_0 \) se esiste un intorno completo \(I_{x_0} \) di \(x_0 \) tale che, per ogni punto dell'intorno diverso da \(x_0 \), il grafico si trova al di sopra della retta tangente. \[ f(x)>t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] In questo caso la retta tangente rimane al di sotto del grafico della funzione. Una funzione con concavità verso l'alto è detta anche funzione convessa.
- La concavità verso il basso
Si dice che il grafico della funzione ha la concavità verso il basso nel punto \( x_0 \) se esiste un intorno completo \(I_{x_0} \) di \(x_0 \) tale che, per ogni punto dell'intorno diverso da \(x_0 \), il grafico si trova al di sotto della retta tangente. \[ f(x)<t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] In questo caso la retta tangente rimane al di sopra del grafico della funzione. Una funzione con concavità verso il basso è detta semplicemente funzione concava.
In altre parole, la concavità descrive il modo in cui il grafico di una funzione si incurva in un punto.
Per stabilire quale tipo di concavità si confronta il grafico della funzione con la sua retta tangente.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
Nel punto \( x_0=0 \) la tangente coincide con l'asse \( x \), cioè con la retta
\[ y=0 \]
In un intorno dell'origine si ha
\[ x^2>0 \qquad (x\neq0) \]
Pertanto il grafico della parabola si trova sempre al di sopra della tangente. La funzione ha quindi la concavità verso l'alto.
Esempio 2
Considero la funzione
\[ f(x)=-x^2 \]
Nel punto \( x_0=0 \) la retta tangente è ancora
\[ y=0 \]
Per ogni punto dell'intorno dell'origine diverso da zero risulta
\[ -x^2<0 \]
Il grafico della funzione si trova quindi al di sotto della tangente e la concavità è rivolta verso il basso.
Come riconoscere la concavità
Dal punto di vista geometrico è sufficiente osservare la posizione del grafico rispetto alla retta tangente.
- Se il grafico è al di sopra della tangente, la concavità è verso l'alto.
- Se il grafico è al di sotto della tangente, la concavità è verso il basso.
Questa interpretazione geometrica è alla base del criterio analitico della derivata seconda, che permette di determinare la concavità senza confrontare direttamente il grafico con la tangente.
Nella pratica, però, questo metodo è poco conveniente perché richiederebbe di studiare la posizione relativa tra la funzione e la tangente in ogni punto.
Per questo motivo, nello studio di funzione si utilizza quasi sempre un criterio analitico basato sulla derivata seconda.
Il legame con la derivata seconda
Se la funzione è derivabile due volte, il segno della derivata seconda permette di stabilire direttamente la concavità del grafico in un determinato intervallo \( I \).
- Se \( f''(x)>0 \) la funzione ha la concavità verso l'alto.
- Se \( f''(x)<0 \) la funzione ha la concavità verso il basso.
Lo studio del segno della derivata seconda è il metodo più semplice ed efficace per determinare la concavità di una funzione e individuare gli eventuali punti di flesso.
Esempio
Considero la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
Senza guardare il grafico, calcolo la derivata prima della funzione:
\[ f'(x)=2x \]
Poi calcolo la derivata seconda.
\[ f''(x)=2 \]
In questo caso la derivata seconda è costante e positiva per ogni valore di \(x \):
\[ f''(x)=2>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
Poiché la derivata seconda è sempre positiva, il grafico della funzione ha la concavità verso l'alto in tutto il dominio.
Nota. Questo risultato è coerente con l'andamento della parabola \(y=x^2 \), il cui grafico è sempre rivolto verso l'alto e in ogni punto del grafico la retta tangente si trova al di sotto della parabola.
Esempio 2
Considero ora la funzione
\[ f(x)=-x^2 \]
Calcolo la derivata prima:
\[ f'(x)=-2x \]
Poi calcolo la derivata seconda:
\[ f''(x)=-2 \]
La derivata seconda è costante e negativa per ogni valore di \(x \):
\[ f''(x)=-2<0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
Poiché la derivata seconda è sempre negativa, il grafico della funzione ha la concavità verso il basso in tutto il dominio.
Nota. Anche questo risultato è coerente con l'andamento della parabola \( y=-x^2 \), il cui grafico è sempre rivolto verso il basso. In ogni punto del grafico la retta tangente si trova al di sopra della parabola.
In generale, per studiare la concavità di una funzione è quindi sufficiente determinare la derivata seconda e analizzarne il segno nei vari intervalli del dominio.
E così via.
