Criterio delle derivate successive per i punti di flesso e la concavità
Sia \(y=f(x)\) una funzione derivabile fino all'ordine \(n\), con derivate continue in un intervallo aperto contenente il punto \(x_0\). Suppongo che la derivata prima sia diversa da zero: \[ f'(x_0)\neq 0 \] e che tutte le derivate dalla seconda fino a quella di ordine \(n-1\) siano nulle \[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \] mentre la derivata di ordine \(n\) sia diversa da zero: \[ f^{(n)}(x_0)\neq 0 \qquad \text{con }n\geq 3 \] Se \(n\) è dispari, il punto \(x_0\) è un punto di flesso a tangente obliqua:
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\) è un flesso ascendente, la concavità passa dal basso verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\) è un flesso discendente, la concavità passa dall'alto verso il basso.
Se \(n\) è pari, il punto \(x_0\) non è un punto di flesso:
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), la concavità è rivolta verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), la concavità è rivolta verso il basso.
Il criterio delle derivate successive permette di studiare la concavità di una funzione vicino a un punto in cui la derivata seconda è nulla e di stabilire se quel punto è un punto di flesso.
Per applicarlo, la prima derivata deve essere diversa da zero \( f'(x_0) \ne 0 \) nel punto in questione. Questa condizione indica che la tangente al grafico in \(x_0\) è obliqua.
Va detto che che nel caso in cui la derivata prima fosse nulla si ricadrebbe nel criterio delle derivate successive dei flessi a tangente orizzontale.
Nota. L'ordine della derivata indica quante volte una funzione \( f(x) \) è stata derivata, Ad esempio, l'ordine 1 indica una derivata prima, l'ordine 2 una derivata seconda, e via dicendo. A seconda se questo numero è pari o dispari, il criterio permette di individuare un flesso obliquo ascendente o discendente in un punto oppure studiare la concavità nell'intorno del punto.
Un esempio pratico
Considero la funzione:
\[ f(x)=x+x^3 \]
Nel punto \(x_0=0\), calcolo le derivate:
\[ f'(x)=1+3x^2,\qquad f''(x)=6x,\qquad f'''(x)=6 \]
Quindi, nel punto \( x_0=0 \) la derivata prima non è nulla mentre la derivata seconda è nulla, come richiede il criterio:
\[ f'(0)=1\neq 0,\qquad f''(0)=0,\qquad f'''(0)=6>0 \]
La prima derivata non nulla dopo la seconda è di ordine 3, un numero dispari. Posso quindi concludere che \((0,0)\) è un punto di flesso a tangente obliqua.
Inoltre, poiché \(f'''(0)>0\), la concavità passa dal basso verso l'alto ossia è un flesso ascendente.
Posso verificarlo osservando che \(f''(x)=6x\) è negativa per \(x<0\) e positiva per \(x>0\).
Esempio 2
Considero la funzione:
\[ f(x)=x+x^4 \]
Le sue derivate sono:
\[ f'(x)=1+4x^3,\qquad f''(x)=12x^2,\qquad f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24 \]
Nel punto \(x_0=0\) la derivata prima non è nulla, mentre la derivata seconda e la derivata terza sono nulle:
\[ f'(0)=1\neq 0,\qquad f''(0)=f'''(0)=0,\qquad f^{(4)}(0)=24>0 \]
In questo caso la prima derivata non nulla dopo la seconda è di ordine 4, un numero pari, ed è positiva. La concavità è quindi rivolta verso l'alto sia a sinistra sia a destra di \(0\).
Infatti, \(f''(x)=12x^2\) è positiva per ogni \(x\neq 0\).
Questo esempio mostra che l'annullamento della derivata seconda non basta per avere un flesso: occorre un cambiamento di concavità.
Cosa accade se la derivata prima è nulla
La condizione \(f'(x_0)\neq 0\) serve a distinguere il flesso a tangente obliqua da quello a tangente orizzontale. Non è necessaria per studiare il cambiamento di concavità.
Se invece \(f'(x_0)=0\), mantenendo le altre ipotesi:
- Se \(n\) è dispari, ho un flesso a tangente orizzontale.
- Se \(n\) è pari, non ho un flesso, ma un minimo locale se \(f^{(n)}(x_0)>0\), oppure un massimo locale se \(f^{(n)}(x_0)<0\).
Per esempio, nella funzione \(f(x)=x^3\) ho \(f'(0)=f''(0)=0\) e \(f'''(0)=6>0\). Il punto \((0,0)\) è quindi un flesso a tangente orizzontale, con tangente \(y=0\).
La dimostrazione
Per dimostrare il criterio applico Taylor alla derivata seconda \(f''(x)\), non alla funzione \(f(x)\). Lo faccio perché il segno della derivata seconda determina la concavità.
Quindi, considero la derivata seconda come una nuova funzione.
\[ g(x)=f''(x). \]
Derivando \(g\), ottengo le derivate successive di \(f\):
\[ g'(x)=f'''(x),\qquad g''(x)=f^{(4)}(x),\qquad \ldots,\qquad g^{(n-2)}(x)=f^{(n)}(x). \]
In questo caso compare \(n-2\) perché parto già dalla derivata seconda di \(f\), quindi devo derivare altre \(n-2\) volte per arrivare alla derivata di ordine \(n\).
Utilizzo la formula di Taylor per \(g\), centrata in \(x_0\), è:
\[ g(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0) +\frac{g''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \frac{g^{(n-2)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2} +R(x) \]
Qui \(R(x)\) è il resto, cioè la differenza tra la funzione e il polinomio scritto. Il resto di Peano soddisfa:
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n-2}}=0 \]
Questo significa che, vicino a \(x_0\), il resto è trascurabile rispetto alla potenza \((x-x_0)^{n-2}\).
Sostituisco ora \(g=f''\) e le sue derivate:
\[ f''(x)=f''(x_0)+f'''(x_0)(x-x_0) +\frac{f^{(4)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2} +R(x). \]
Per ipotesi iniziale del criterio, le derivate di ordine $ n \ge 2 $ fino alla $ n-1 $ sono nulle:
\[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \]
Quindi, tutti i termini del polinomio si annullano, tranne l'ultimo:
\[ f''(x)= \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}+R(x) \]
Nota. Per capire concretamente questo passaggio, suppongo che la prima derivata non nulla dopo la seconda sia quella di ordine 5. \[ f''(x_0)=f'''(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0, \qquad f^{(5)}(x_0)\neq 0 \] Lo sviluppo diventa: \[ f''(x)=
\underbrace{f''(x_0)}_{0} +\underbrace{f'''(x_0)}_{0}(x-x_0) +\frac{\underbrace{f^{(4)}(x_0)}_{0}}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f^{(5)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+R(x) \] Rimane dunque: \[ f''(x)=\frac{f^{(5)}(x_0)}{6}(x-x_0)^3+R(x) \]
Per \(x\neq x_0\), raccolgo la potenza:
\[ f''(x)=(x-x_0)^{n-2} \left[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!} +\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n-2}} \right]. \]
Dentro le parentesi ho una costante diversa da zero più un termine che tende a zero. Perciò, avvicinandomi abbastanza a \(x_0\), il termine che tende a zero non può cambiare il segno della costante.
A questo punto posso studiare il segno di \(f''(x)\) guardando soltanto:
\[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}. \]
Il fattoriale è positivo. Quindi contano il segno di \(f^{(n)}(x_0)\) e la parità dell'esponente \(n-2\): se è dispari, la potenza cambia segno attraversando \(x_0\); se è pari, mantiene lo stesso segno.
- Se \(n\) è dispari anche \(n-2\) è dispari. Quindi: \[ (x-x_0)^{n-2}<0 \quad \text{per }x<x_0, \qquad (x-x_0)^{n-2}>0 \quad \text{per }x>x_0 \] La derivata seconda cambia segno attraversando \(x_0\):
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), \(f''(x)\) passa da negativa a positiva: la concavità passa dal basso verso l'alto, ossia è un flesso ascendente.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), \(f''(x)\) passa da positiva a negativa: la concavità passa dall'alto verso il basso, ossia è un flesso discendente.
- Se \(n\) è pari anche \(n-2\) è pari. Pertanto: \[ (x-x_0)^{n-2}>0 \qquad \text{per }x\neq x_0 \] La derivata seconda ha lo stesso segno sui due lati di \(x_0\):
- Se \(f^{(n)}(x_0)>0\), \(f''(x)>0\): la concavità è rivolta verso l'alto.
- Se \(f^{(n)}(x_0)<0\), \(f''(x)<0\): la concavità è rivolta verso il basso.
La dimostrazione mostra anche che la condizione sulla derivata prima serve soltanto a classificare la tangente: se \(f'(x_0)=0\), il ragionamento sulla concavità rimane valido e, quando \(n\) è dispari, il flesso ha tangente orizzontale.
E così via.
