Il criterio delle derivate successive per riconoscere massimi, minimi e flessi orizzontali
Il criterio delle derivate successive afferma che, data una funzione \(y=f(x)\) derivabile fino all'ordine \(n\), con derivate continue in un intervallo aperto, se in un punto interno \(x_0\) tutte le derivate fino all'ordine \(n-1\) sono nulle \[ f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \] e la derivata \(n\)-esima è diversa da zero, con \(n\geq 2\) \[ f^{(n)}(x_0)\neq 0 \] allora:
- Se \(n\) è pari, la funzione ha un massimo relativo in \(x_0\) quando \(f^{(n)}(x_0)<0\), oppure un minimo relativo quando \(f^{(n)}(x_0)>0\).
- Se \(n\) è dispari, la funzione ha un flesso orizzontale discendente in \(x_0\) quando \(f^{(n)}(x_0)<0\), oppure un flesso orizzontale ascendente quando \(f^{(n)}(x_0)>0\).
Il criterio delle derivate successive permette di classificare un punto stazionario anche quando la derivata seconda è nulla.
Per comprendere come funziona, considero una funzione \(f(x)\) e un punto stazionario \(x_0\), ossia un punto in cui la derivata prima si annulla.
\[ f'(x_0)=0 \]
In questo punto la tangente al grafico della funzione è orizzontale. Tuttavia, questa informazione non è sufficiente per stabilire se il punto sia un massimo relativo, un minimo relativo oppure un flesso orizzontale.
In genere, per classificare il punto calcolo la derivata seconda. Se è positiva, il punto è un minimo relativo. Se è negativa, è un massimo relativo.
Cosa accade se anche la derivata seconda è nulla?
In questo caso il criterio della derivata seconda non permette di classificare il punto. Posso però continuare a calcolare le derivate successive fino a trovare la prima derivata diversa da zero.
A questo punto dobbiamo considerare due aspetti: l'ordine della derivata e il suo segno.
- Se la prima derivata diversa da zero è di ordine pari, ad esempio una derivata quarta, sesta, ecc., il punto è un massimo o un minimo relativo. Il segno negativo indica un massimo, mentre quello positivo indica un minimo.
- Se invece la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari, ad esempio una derivata quinta, settima, ecc., il punto è un flesso orizzontale. Il segno positivo indica un flesso ascendente, mentre quello negativo indica un flesso discendente.
Nota. Il criterio non permette di classificare un punto stazionario se non si trova una derivata diversa da zero. In questo caso occorre utilizzare un altro metodo, come lo studio del segno della derivata prima nell'intorno del punto.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ f(x)=x^4 \]
La derivata prima è
\[ f'(x)=4x^3 \]
La derivata si annulla in \(x_0=0\). Pertanto, questo è un punto stazionario.
Calcolo la derivata seconda.
\[ f''(x)=12x^2 \]
Anche la derivata seconda si annulla in \(x_0=0\). Non posso quindi classificare il punto con il criterio della derivata seconda.
Calcolo la derivata terza.
\[ f'''(x)=24x \]
Anche questa derivata si annulla in \(x_0=0\). Proseguo con la derivata quarta.
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
La derivata quarta è positiva e diversa da zero.
\[ f^{(4)}(0)=24>0 \]
Poiché la prima derivata diversa da zero è di ordine pari ed è positiva, il punto \(x_0=0\) è un minimo relativo.
Esempio 2
Considero la funzione
\[ f(x)=-x^4 \]
Calcolo le derivate successive.
\[ \begin{aligned} f'(x)&=-4x^3\\ f''(x)&=-12x^2\\ f'''(x)&=-24x\\ f^{(4)}(x)&=-24 \end{aligned} \]
Nel punto \(x_0=0\) le prime tre derivate sono nulle, mentre la derivata quarta è negativa.
\[ f^{(4)}(0)=-24<0 \]
Poiché la prima derivata diversa da zero è di ordine pari ed è negativa, il punto \(x_0=0\) è un massimo relativo.
Esempio 3
Considero la funzione
\[ f(x)=x^3 \]
La derivata prima è
\[ f'(x)=3x^2 \]
La derivata si annulla in \(x_0=0\). Calcolo la derivata seconda.
\[ f''(x)=6x \]
Anche la derivata seconda si annulla nello stesso punto. Calcolo la derivata terza.
\[ f'''(x)=6 \]
La derivata terza è positiva e diversa da zero.
\[ f'''(0)=6>0 \]
Poiché la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari ed è positiva, il punto \(x_0=0\) è un flesso orizzontale ascendente.
Esempio 4
Considero la funzione
\[ f(x)=-x^3 \]
Calcolo le derivate successive.
\[ \begin{aligned} f'(x)&=-3x^2\\ f''(x)&=-6x\\ f'''(x)&=-6 \end{aligned} \]
Nel punto \(x_0=0\) le prime due derivate sono nulle, mentre la derivata terza è negativa.
\[ f'''(0)=-6<0 \]
Poiché la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari ed è negativa, il punto \(x_0=0\) è un flesso orizzontale discendente.
Perché il criterio funziona?
Il criterio delle derivate successive si può dimostrare utilizzando lo sviluppo di Taylor della funzione nell'intorno del punto stazionario.
Quando tutte le derivate fino all'ordine \(n-1\) sono nulle, lo sviluppo di Taylor assume la forma
\[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \]
Il comportamento locale della funzione dipende quindi dal primo termine non nullo dello sviluppo.
- Se \(n\) è pari, la potenza \((x-x_0)^n\) è positiva sia a sinistra sia a destra del punto \(x_0\). Pertanto, se la derivata \(n\)-esima è positiva, la funzione assume valori maggiori di \(f(x_0)\) e il punto è un minimo relativo. Se invece è negativa, la funzione assume valori minori e il punto è un massimo relativo.
- Se \(n\) è dispari, la potenza \((x-x_0)^n\) cambia segno attraversando \(x_0\). La funzione attraversa quindi il valore \(f(x_0)\) e cambia concavità. Il punto è un flesso orizzontale, ascendente o discendente a seconda del segno della derivata.
La dimostrazione
Per dimostrare il criterio delle derivate successive considero prima il caso in cui la derivata seconda è diversa da zero e poi quello in cui la prima derivata diversa da zero è la terza. In questo modo posso verificare le quattro situazioni previste dal teorema.
1] La derivata seconda è negativa: massimo relativo
Considero una funzione \(f(x)\) che nel punto \(x_0\) soddisfa le condizioni:
\[ f'(x_0)=0 \qquad f''(x_0)<0 \]
Poiché la derivata seconda è continua in \(x_0\), posso trovare un intervallo sufficientemente piccolo intorno al punto in cui rimane negativa.
\[ f''(x)<0 \]
La derivata seconda indica come varia la derivata prima. Se è negativa, significa che la derivata prima è decrescente.
Inoltre, so che \(f'(x_0)=0\). Pertanto, essendo decrescente, la derivata prima è positiva prima di \(x_0\) e negativa dopo \(x_0\).
\[ \begin{aligned} f'(x)>0 &\quad \text{se }x<x_0\\ f'(x)<0 &\quad \text{se }x>x_0 \end{aligned} \]
Cosa significa per la funzione?
Quando la derivata prima è positiva, la funzione è crescente. Quando è negativa, la funzione è decrescente.
Quindi, la funzione cresce fino a \(x_0\) e poi decresce. Il valore \(f(x_0)\) è maggiore dei valori assunti nei punti vicini.
Posso concludere che \(x_0\) è un punto di massimo relativo.
2] La derivata seconda è positiva: minimo relativo
Considero ora il caso opposto:
\[ f'(x_0)=0 \qquad f''(x_0)>0 \]
Per la continuità della derivata seconda, posso individuare un intervallo intorno a \(x_0\) in cui essa rimane positiva.
\[ f''(x)>0 \]
In questo intervallo la derivata prima è crescente. Poiché si annulla in \(x_0\), deve essere negativa prima del punto e positiva dopo.
\[ \begin{aligned} f'(x)<0 &\quad \text{se }x<x_0\\ f'(x)>0 &\quad \text{se }x>x_0 \end{aligned} \]
La funzione è quindi decrescente prima di \(x_0\) e crescente dopo \(x_0\).
Il valore \(f(x_0)\) è minore dei valori assunti nei punti vicini. Posso concludere che \(x_0\) è un punto di minimo relativo.
3] La derivata terza è negativa: flesso orizzontale discendente
Suppongo ora che la derivata prima e la derivata seconda siano nulle nel punto \(x_0\), mentre la derivata terza sia negativa.
\[ f'(x_0)=f''(x_0)=0 \]
\[ f'''(x_0)<0 \]
Poiché la derivata terza è continua, posso trovare un intervallo intorno a \(x_0\) in cui rimane negativa.
La derivata terza è la derivata della derivata seconda. Pertanto, se è negativa, la derivata seconda è decrescente.
Dato che \(f''(x_0)=0\), la derivata seconda è positiva prima di \(x_0\) e negativa dopo.
\[ \begin{aligned} f''(x)>0 &\quad \text{se }x<x_0\\ f''(x)<0 &\quad \text{se }x>x_0 \end{aligned} \]
Questo significa che la funzione cambia concavità nel punto \(x_0\). Prima del punto ha la concavità rivolta verso l'alto, mentre dopo ha la concavità rivolta verso il basso.
Posso quindi affermare che \(x_0\) è un punto di flesso.
Ma perché è un flesso orizzontale e discendente?
La tangente è orizzontale perché la derivata prima si annulla in \(x_0\).
Per stabilire se il flesso è ascendente o discendente, osservo il comportamento della derivata prima.
Prima di \(x_0\), la derivata seconda è positiva e quindi la derivata prima è crescente. Poiché raggiunge il valore zero in \(x_0\), prima di questo punto deve essere negativa.
Dopo \(x_0\), invece, la derivata seconda è negativa e quindi la derivata prima è decrescente. Partendo dal valore zero, assume nuovamente valori negativi.
Pertanto:
\[ f'(x)<0 \qquad \text{per }x\neq x_0 \]
in un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\).
La funzione è decrescente su entrambi i lati del punto e cambia concavità in \(x_0\).
Posso concludere che \(x_0\) è un punto di flesso orizzontale discendente.
4] La derivata terza è positiva: flesso orizzontale ascendente
Considero infine il caso in cui:
\[ f'(x_0)=f''(x_0)=0 \]
\[ f'''(x_0)>0 \]
Poiché la derivata terza è positiva in un intorno di \(x_0\), la derivata seconda è crescente.
Essendo nulla in \(x_0\), la derivata seconda è negativa prima del punto e positiva dopo.
\[ \begin{aligned} f''(x)<0 &\quad \text{se }x<x_0\\ f''(x)>0 &\quad \text{se }x>x_0 \end{aligned} \]
La funzione cambia quindi concavità, passando da una concavità rivolta verso il basso a una rivolta verso l'alto.
Inoltre, la derivata prima si annulla in \(x_0\), quindi la tangente è orizzontale.
Prima di \(x_0\), la derivata prima è decrescente e raggiunge il valore zero. Di conseguenza, è positiva nei punti precedenti.
Dopo \(x_0\), la derivata prima è crescente a partire da zero e assume valori positivi.
Quindi:
\[ f'(x)>0 \qquad \text{per }x\neq x_0 \]
in un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\).
La funzione è crescente su entrambi i lati del punto e cambia concavità in \(x_0\).
Posso concludere che \(x_0\) è un punto di flesso orizzontale ascendente.
Questa dimostrazione verifica direttamente i quattro casi in cui la prima derivata diversa da zero è la seconda oppure la terza.
Per estendere il risultato alle derivate di ordine superiore posso utilizzare lo sviluppo di Taylor, che permette di studiare il comportamento locale della funzione attraverso il primo termine non nullo dello sviluppo.
E così via.
