Formula di Taylor

La formula di Taylor approssima il comportamento di una funzione f(x) derivabile n volte nell'intorno di un punto x0 di R, mediante dei polinomi di grado n a cui si aggiunge un resto R. $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k + R_n(x) $$ con $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n}{(x-x_0)^n} = 0 $$

Il polinomio è detto Polinomio di Talyor di f(x) in x0 di grado/ordine n.

Quanto più alto è il grado n del polinomio, tanto più accurata sarà l'approssimazione della funzione.

Pertanto, il resto R del polinomio è nullo per n tendente a infinito.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} R_n = 0 $$

A cosa serve? La formula di Taylor mi permette di trasformare una funzione f(x) in un polinomio algebrico P. In quest'ultima forma è più semplice e immediato studiare le sue caratteristiche.

Un esempio di calcolo

Ho la funzione esponenziale

$$ f(x) = e^x $$

Prendo come riferimento il punto x0=0.

$$ x_0 = 0 $$

dove la funzione è uguale a 1

$$ f(0) = e^0 = 1 $$

Poiché tutte le derivate della funzione coincidono con ex

$$ D[e^x] = e^x $$

per ogni grado k ho

$$ f^{(k)}(0)=1 $$

Pertanto, lo sviluppo polinomiale della funzione di grado n=2 è

$$ f(x) = \frac{f^{(0)}(x_0)}{0!} \cdot (x-x_0)^0 + \frac{f^{(1)}(x_0)}{1!} \cdot (x-x_0)^1 + \frac{f^{(2)}(x_0)}{2!} \cdot (x-x_0)^2 + R_2 $$

$$ f(x) = \frac{D^{(0)}[e(x_0)]}{0!} \cdot (x-x_0)^0 + \frac{D^{(1)}[e(x_0)]}{1!} \cdot (x-x_0)^1+ \frac{D^{(2)}[e(x_0)]}{2!} \cdot (x-x_0)^2 + R_2 $$

Considerando che la derivata zero è la funzione stessa.

$$ f(x) = \frac{e(x_0)}{0!} \cdot (x-x_0)^0 + \frac{D^{(1)}[e(x_0)]}{1!} \cdot (x-x_0)^1+ \frac{D^{(2)}[e(x_0)]}{2!} \cdot (x-x_0)^2 + R_2 $$

Sostituisco x0=0

$$ f(x) = \frac{e(0)}{0!} \cdot (x-0)^0 + \frac{D^{(1)}[e(0)]}{1!} \cdot (x-0)^1+ \frac{D^{(2)}[e(0)]}{2!} \cdot (x-0)^2 + R_2 $$

$$ f(x) = \frac{e(0)}{0!} \cdot x^0 + \frac{D^{(1)}[e(0)]}{1!} \cdot x^1+ \frac{D^{(2)}[e(0)]}{2!} \cdot x^2 + R_2 $$

Sapendo che ogni derivata k-esima di ex è sempre ex

$$ f(x) = \frac{e(0)}{0!} \cdot x^0 + \frac{e(0)}{1!} \cdot x^1+ \frac{e(0)}{2!} \cdot x^2 + R_2 $$

Poiché e0=1

$$ f(x) = \frac{1}{0!} \cdot x^0 + \frac{1}{1!} \cdot x^1+ \frac{1}{2!} \cdot x^2 + R_2 $$

Calcolo i fattoriali al denominatore.

Il fattoriale di 0! è per convenzione uguale a 1.

$$ f(x) = \frac{1}{1} \cdot x^0 + \frac{1}{1} \cdot x^1+ \frac{1}{2} \cdot x^2 + R_2 $$

$$ f(x) = \frac{x^0}{1} + \frac{x^1}{1} + \frac{x^2}{2} + R_2 $$

$$ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + R_2 $$

Pur essendo un polinomio di Taylor di grado molto basso, il polinomio approssima abbastanza bene la funzione f(x)=ex

l'approssimazione polinomiale della funzione

Se aumentassi il grado del polinomio a k+1=3 otterrei una migliore approssimazione.

$$ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + R_3 $$

Il nuovo polinomio di grado 3 è più vicino al grafico della funzione rispetto al precedente polinomio di grado 2 ( punteggiato ).

l'approssimazione polinomiale della funzione migliora con il grado del polinomio di Taylor

Pertanto, il limite del resto del polinomio per k tendente a infinito è zero.

$$ \lim_{k \rightarrow ∞} R_k = 0 $$

La dimostrazione

Suppongo che la derivata f(n)(x) sia continua in x0.

Devo dimostrare che il resto della formula di Taylor tende a zero per x tendente a x0.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n}{(x-x_0)^n} = 0 $$

Sapendo che R è uguale alla differenza tra la funzione f(x) e il polinomio di Taylor

$$ R_n = f(x) - P(x) $$

$$ R_n = f(x) - [ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} ] $$

Sostituisco R nel limite.

Il risultato è una forma indeterminata 0/0.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - [ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} ] }{(x-x_0)^n} = \frac{0}{0} $$

Nota. Al numeratore la differenza tra la funzione f(x) e il polinomio di Taylor è nulla perché nel punto x0 sono coincidenti. Al denominatore la differenza x-x0 è ovviamente nulla per x→x0. Questo spiega perché il limite è una forma indeterminata 0/0.

Per risolvere la forma indeterminata 0/0 applico il teorema di L'Hopital.

Calcolo la derivata per x del numeratore e del denominatore.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ D [ f(x) - [ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} ] ] }{ D[ (x-x_0)^n ] } $$

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ f'(x) - [ f'(x_0) + f"(x_0)(x-x_0) +...+ \frac{f^{(n)}(x_0) \cdot (x-x_0)^{n-1} }{(n-1)!} ] } { n \cdot (x-x_0)^{n-1} } = \frac{0}{0} $$

Essendo ancora una forma indeterminata 0/0, applico di nuovo il teorema di L'Hopital per n volte.

Dopo n derivazioni del numeratore e del denominatore ottengo:

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{n!} $$

Poiché la funzione f(x) è continua in x0 allora il numeratore è zero perché f(x0)-f(x)=0 con x→x0.

Il denominatore è, invece, una costante n! pari al fattoriale del grado n del polinomio di Taylor.

Pertanto, il limite è nullo.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{n!} = 0 $$

Quindi anche il limite iniziale è nullo

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ f'(x) - [ f'(x_0) + f"(x_0)(x-x_0) +...+ \frac{f^{(n)}(x_0) \cdot (x-x_0)^{n-1} }{(n-1)!} ] } { n \cdot (x-x_0)^{n-1} } = 0 $$

ossia

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n}{(x-x_0)^n} = 0 $$

E questo completa la dimostrazione della formula di Taylor.

Il resto di Peano

Il resto di Peano è la differenza tra il polinomio pn di ordine n e centro x0 realizzato con la formula di Taylor e la funzione f(x) che si vuole approssimare. $$ R_n(x) = f(x)-p_n(x) $$

Il resto di Peano misura l'errore quando approssimo la funzione f(x) con il polinomio di Taylor.

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k + R_n(x) $$

Il polinomio di Talyor pn(x) è

$$ p_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k $$

Quindi, con un semplice passaggio algebrico.

$$ f(x) = p_n(x) + R_n(x) $$

$$ f(x) - p_n(x) = R_n(x) $$

Il resto di Peano R è la differenza tra la funzione f(x) e il polinomio di Taylor pn(x) di ordine n centrato su x0.

Il resto di Peano Rn(x) è un infinitesimo in x0 di ordine superiore a (x-x0)n se la funzione f(x) è derivabile n volte in x0. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0 $$

La dimostrazione

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} $$

Sapendo che Rn(x)=f(x)-pn(x)

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - p_n(x)}{(x-x_0)^n} $$

Sostituisco pn(x) con il polinomio di Taylor.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - [ f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} ] }{(x-x_0)^n} $$

Il limite precedente è una forma indeterminata del tipo 0/0.

Per risolverlo applico il teorema di De L'Hopital per n-1 volte.

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n-1)}(x) - [ f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0)(x-x_0) ] }{ n! (x-x_0)} $$

Sposto 1/n! fuori dal limite

$$ \frac{1}{n!} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n-1)}(x) - [ f^{(n-1)}(x_0) + f^{(n)}(x_0)(x-x_0) ] }{ (x-x_0)} $$

$$ \frac{1}{n!} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) - f^{(n)}(x_0)(x-x_0) }{ (x-x_0)} $$

Scorporo l'ultimo termine dalla frazione e semplifico

$$ \frac{1}{n!} \lim_{x \rightarrow x_0} [ \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) }{ (x-x_0)} - \frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0) }{ (x-x_0)} ] $$

$$ \frac{1}{n!} \lim_{x \rightarrow x_0} [ \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) }{ (x-x_0)} - f^{(n)}(x_0) ] $$

Scorporo i limiti

$$ \frac{1}{n!} [ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0) }{ (x-x_0)} - \lim_{x \rightarrow x_0} f^{(n)}(x_0) ] $$

Applico il teorema di De L'Hopital sul primo limite che diventa f(n)(x).

$$ \frac{1}{n!} \cdot [ f^{(n)}(x_0) - \lim_{x \rightarrow x_0} f^{(n)}(x_0) ] $$

Il secondo limite è f(n)(x).

$$ \frac{1}{n!} \cdot [ f^{(n)}(x_0) - f^{(n)}(x_0) ] $$

$$ \frac{1}{n!} \cdot [ 0 ] $$

$$ = 0 $$

Nota. Il resto di Peano Rn(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a (x-x0)n. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0 $$ Quindi, nel polinomio di Taylor posso indicarlo anche con il simbolo "o piccolo". $$ R_n(x)=o((x-x_0)^n) $$ ossia . $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k + o((x-x_0)^n) $$

La formula di Taylor in una notazione alternativa

Se il resto di Peano è un "o piccolo" di (x-x0)n posso riscrivere la formula di Taylor anche in questa forma alternativa

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k + o((x-x_0)^n) $$

La stima del resto di Peano

Data una funzione f(x) derivabile n+1 volte in un intorno di x0 con derivata continua, se M è il massimo valore della funzione nell'intorno, una stima del resto di Peano è la seguente $$ |R_n(x)| \le M \cdot \frac{|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!} $$

La formula di Mac Laurin

La formula di Mac Laurin è un caso particolare della formula di Taylor, quando x0=0 è uguale a zero. $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} \cdot (x)^k + o((x)^n) $$

E così via.

 


 

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