L'operatore di parità

L'operatore di parità è l’operatore che descrive matematicamente la riflessione spaziale, cioè l’operazione che inverte le coordinate spaziali di un sistema rispetto all’origine.

In altre parole, applicare la parità significa passare da un sistema a quello “specchiato”, ossia invertire lo spazio.

Ad esempio, se un punto dello spazio ha coordinate

$$ x = (x, y, z) $$

allora l'operatore di parità $ P $ lo trasforma in

$$ P(x) = (-x, -y, -z) $$

Questa trasformazione è detta inversione spaziale.

Applicare l’operatore di parità a un sistema fisico equivale a guardarlo allo specchio, ma non rispetto a un piano: rispetto all’origine.

Dal punto di vista geometrico è una simmetria centrale. È una trasformazione globale che inverte destra e sinistra, avanti e indietro, sopra e sotto.

A cosa serve?

L'operatore di parità è molto importante in fisica perché la parità viene conservata in alcune interazioni fondamentali ma non in tutte.

• Se un fenomeno fisico rimane invariato sotto questa trasformazione, si dice che conserva la parità.
• Se invece cambia, allora la parità è violata.

Quindi l'operatore di parità permette di classificare le particelle.

Nota. Nelle interazioni elettromagnetiche e forti, la parità è conservata. Nelle interazioni deboli, invece, la parità è violata, in questo caso la natura distingue tra destra e sinistra. È proprio per questo che esistono neutrini solo sinistrorsi e antineutrini destrorsi. La violazione della parità rivela una delle più profonde asimmetrie della natura.

Le proprietà fondamentali

L'operatore di parità ha alcune proprietà interessanti

Se lo applico due volte, l'operatore parità riporta alla situazione iniziale

$$ P^2 = I $$

Dove $ I $ è l’identità.

Esempio. Considero un punto nello spazio con coordinate: \[ \vec r = (2,-1,3) \] L’operatore di parità inverte tutte le coordinate:
\[ P(\vec r) = (-2,1,-3) \] È come guardare il punto allo specchio passando per l’origine. Ora applico di nuovo l’operatore di parità: \[ P(P(\vec r)) = P(-2,1,-3) = (2,-1,3) \] Si torna al punto iniziale cioè \( P^2 = I \). \[ P^2(\vec r) = \vec r \]

Dal punto di vista fisico questo significa che fare una riflessione spaziale due volte equivale a non fare nulla. Si torna alla configurazione iniziale.

Per questo l’operatore di parità $ P $ ha solo due autovalori possibili: +1 e -1.

• +1 indica uno stato pari
• -1 indica uno stato dispari

Vettori ordinari e pseudovettori

L'operatore di parità mi permette di distinguere le grandezze vettoriali in vettori ordinari e pseudovettori.

• Vettori ordinari
  Un vettore ordinario (o vettore polare), come posizione, velocità o forza, cambia segno dopo l'inversione spaziale: $$ P( \vec{v} ) = - \vec{v} $$
• Pseudovettori
  Uno pseudovettore (o vettore assiale), come il momento angolare o il campo magnetico, non cambia segno dopo l'inversione spaziale. $$ P(\vec v \times \vec w) = (-\vec v) \times (-\vec w) = \vec v \times \vec w = \vec L $$

  Dimostrazione. Se \( \vec L = \vec v \times \vec w \) con \( \vec v \) e \( \vec w \) vettori polari, allora sotto l’azione dell’operatore di parità \( P \) si ha $$ P(\vec v) = -\vec v, \quad P(\vec w) = -\vec w $$ e quindi  $$ P(\vec L) = \vec L $$Esempio. Considero due vettori nel piano: $$  \vec v = (1,0) \qquad \vec w = (0,1) $$ Il prodotto vettoriale è un vettore uscente dal piano (asse ( z ) $$ \vec v \times \vec w = (0,0,1) $$ Questo vettore è perpendicolare al piano ed è uno pseudovettore. Infatti, se applico l’inversione spaziale ottengo $ (x,y) \rightarrow (-x,-y) $ e quindi: $$ P(\vec v) = (-1,0), \quad P(\vec w) = (0,-1) $$ Ora rifaccio il prodotto vettoriale: $$ P(\vec v) \times P(\vec w) = (-1,0) \times (0,-1) = (0,0,1) $$  Il risultato è lo stesso $$ P(\vec v \times \vec w) = \vec v \times \vec w $$ Il verso non cambia. Quindi, dal punto di vista fisico, l’inversione spaziale ribalta le direzioni ma non il verso di una rotazione.
  

Scalare e pseudoscalare

L'operatore di parità mi permette anche di distinguere le grandezze numeriche in scalari e pseudoscalari.

• Scalare
  Uno grandezza numerica è detta scalare se non cambia segno dopo l'inversione spaziale.

  Esempio. La temperatura in un punto è \( T = 20^\circ \text{C} \).  Se applico l’inversione spaziale, la temperatura non cambia. $$  P(T) = T $$ La temperatura non ha direzione, non dipende dall’orientazione dello spazio. Ha lo stesso valore e segno anche allo "specchio". Quindi, è una grandezza scalare.

• Pseudoscalare
  Una grandezza numerica è detta pseudoscalare se cambia segno dopo l'inversione spaziale.

  Esempio. Considero tre vettori \[ \vec a = (1,0,0) \\ \vec b = (0,1,0) \\ \vec c = (0,0,1) \] Poi calcolo il prodotto scalare triplo: \[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \] Sapendo che \( \vec b \times \vec c = (1,0,0) \) ottengo: \[
  S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = 1 \] Ora applico la parità: \[ P(\vec a) = (-1,0,0) \\ P(\vec b) = (0,-1,0) \\ P(\vec c) = (0,0,-1) \] Calcolo di nuovo: \[ P(S) = P( \vec a ) \cdot ( P( \vec b ) \times P( \vec c ) )  \] \[ P(S) = (-1,0,0) \cdot ( (0,-1,0) ) \times (0,0,-1) )  \] Poiché \( (0,-1,0) \times (0,0,-1) = (1,0,0) \)  ottengo: \[ P(S) = (-1,0,0) \cdot ( \underbrace{ (0,-1,0) ) \times (0,0,-1) }_{(1,0,0)} )  \] \[ P(S) = (-1,0,0) \cdot (1,0,0) = -1 \] Il risultato finale cambia segno (-1). Questo è un esempio di grandezza pseudoscalare.

E così via.