Ampiezza di scattering

L’ampiezza di scattering $ \mathcal{M} $ è la quantità fondamentale che descrive quanto è probabile che due particelle, quando si urtano, reagiscano in un certo modo. Il modulo quadro di quest’ampiezza dà la probabilità reale del processo, da cui si ricava la sezione d’urto osservabile.

Nella fisica quantistica quando due particelle si urtano, possono verificarsi diverse reazioni.

Ad esempio, un fascio di particelle colpisce un bersaglio. Alcune particelle passano dritte, altre rimbalzano via in direzioni diverse.

Ogni direzione ha la sua probabilità. E queste probabilità non si calcolano direttamente. Si calcolano le ampiezze.

L'ampiezza è un numero complesso che, al quadrato, restituisce la probabilità di un certo risultato.

Nota. In fisica quantistica, tutto è descritto da ampiezze di probabilità. Quando due processi diversi possono portare allo stesso risultato, le loro ampiezze si sommano, non le probabilità. Solo alla fine si fa il modulo quadro per ottenere la probabilità vera e propria.

Nel caso di uno scattering, cioè un urto tra particelle, l’ampiezza di scattering $ \mathcal{M} $ è la quantità che contiene tutte le informazioni sul processo:

Una volta che ho $ \mathcal{M} $, posso ricavare ogni grandezza misurabile: in particolar modo, la sezione d’urto, che dice quanto è probabile che le particelle interagiscano in quel modo.

La sezione d'urto $ \sigma $ è una grandezza proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza di scattering.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Quindi, più grande è l’ampiezza, più alta è la probabilità dell'interazione. Più alta è la probabilità, più grande è la sezione d’urto.

Un esempio pratico

Considero lo scattering tra un pione $ \pi $ e un protone $ p $.

$$ \pi + p \to \pi + p $$

Ci sono due possibili canali: uno con isospin $ I = \tfrac{3}{2} $, l’altro con $ I = \tfrac{1}{2} $.

Perché ci sono due canali? In questo esempio devo considerare un pione e un protone. Il pione ha isospin $ I_1 = 1 $ e il protone ha isospin $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. Componendo gli isospin, il valore totale $ I $ può assumere tutti i valori compresi tra $ |I_1 - I_2| $ e $ I_1 + I_2 $, a passi interi o semi-interi. In questo caso: \[ |1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Quindi gli unici valori possibili dell’isospin totale sono: \[ I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] Pertanto, segue: \[1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] Questo vuol dire che lo scattering pione-protone può trovarsi solo in uno di questi due stati di isospin totale $ \tfrac{3}{2} $ oppure $ \tfrac{1}{2} $.

A ciascun canale è associata una ampiezza di scattering $ \mathcal{M} $:

$ \mathcal{M}_{3/2} $ per il canale con isospin $ \tfrac{3}{2} $
$ \mathcal{M}_{1/2} $ per quello con $ \tfrac{1}{2} $

A seconda dello stato iniziale, l’urto può avvenire in un solo canale di isospin oppure come combinazione lineare di più canali.

Nel caso dello scattering tra un pione e un protone, lo stato iniziale può presentarsi in tre configurazioni distinte, a seconda della carica del pione:

$ \pi^+ + p $
$ \pi^0 + p $
$ \pi^- + p $

Ognuna di queste corrisponde a un diverso valore di isospin lungo l’asse z e, di conseguenza, a una diversa decomposizione nei canali $ I = \tfrac{3}{2} $ e $ I = \tfrac{1}{2} $.

Questo accade perché il pione forma un tripletto di isospin: ha isospin $ I = 1 $ e tre possibili valori di $ I_3 $, che corrispondono alle tre cariche:

$ \pi^+ $ ha $ I_3 = +1 $
$ \pi^0 $ ha $ I_3 = 0 $
$ \pi^- $ ha $ I_3 = -1 $

Il protone ha isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ e $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $.

Combinando pione e protone, ottengo tre stati con valori diversi di isospin lungo l’asse z:

$ I_3^{\text{tot}} = 1 + \frac12 = +\tfrac{3}{2} $ per $ \pi^+ + p $
$ I_3^{\text{tot}} = 0 + \frac12 = +\tfrac{1}{2} $ per $ \pi^0 + p $
$ I_3^{\text{tot}} = -1 + \frac12 = -\tfrac{1}{2} $ per $ \pi^- + p $

Dal punto di vista dell’isospin sono stati fisicamente diversi, e ciascuno si decompone in modo diverso nei canali di isospin totale $ I = \tfrac{3}{2} $ e $ I = \tfrac{1}{2} $.

Tra questi solo $ \pi^+ + p $ è uno stato di isospin puro $ ( I = \tfrac{3}{2} ) $. Gli altri due sono stati misti, cioè sovrapposizioni di più canali di isospin.

Cosa cambia se lo stato iniziale è puro o misto?

Se lo stato iniziale è puro, cioè ha un solo isospin, c'è una sola ampiezza.

Ad esempio, se lo stato iniziale è $ \pi^+ + p $ c'è solo l'ampiezza $ \mathcal{M}_{3/2} $.

\[ \mathcal{M} = \mathcal{M}_{3/2} \]

Viceversa, se lo stato iniziale è misto, come nel caso $ \pi^- + p $, le ampiezze si sommano e possono interferire e sovrapporsi tra loro.

\[ \mathcal{M} = c_{3/2} \mathcal{M}_{3/2} + c_{1/2} \mathcal{M}_{1/2} \]

Nota. A volte, anche se lo stato iniziale è misto, la dinamica seleziona un solo canale e semplifica tutto. Ma questo è un altro discorso che rimando a ulteriori approfondimenti.

In tutti i casi il modulo quadro dell'ampiezza $ \mathcal{M} $ restituisce la sezione d'urto $ \sigma $, ossia la probabilità che la reazione avvenga.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Per un approfondimento su questo esempio rimando alla lettura dei miei appunti sullo scattering pione-nucleone.

E così via.

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