Lunghezza d'onda di Compton
La lunghezza d'onda di Compton $ \lambda_c $ descrive quanto cambia la lunghezza d'onda $ \Delta \lambda $ di un fotone, quando collide elasticamente con una particella massiva come un elettrone. $$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$ Dove $ \theta $ è l'angolo di scattering, mentre la lunghezza di Compton è $$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$Dove $h$ è la costante di Planck, $m$ è la massa della particella (es. elettrone) e $c$ è la velocità della luce
In altre parole, la lunghezza d’onda di Compton misura quanto un fotone cambia lunghezza d’onda dopo un urto elastico con una particella massiva.
E' un concetto fondamentale nella fisica quantistica relativistica.
Lo scattering di Compton
Il fenomeno venne osservato da Arthur H. Compton nel 1923 in un esperimento, detto scattering di Compton, quando si accorse che se un fascio di raggi X colpisce un materiale, la radiazione diffusa ha una lunghezza d'onda più lunga (cioè ha energia minore) rispetto a quella incidente.
Questo fenomeno era spiegabile con la fisica classica.
Tuttavia, se si trattano i fotoni come particelle con quantità di moto, la cosa diventa chiara.
Nello scontro il fotone cede parte della sua energia e quantità di moto all’elettrone, proprio come avviene in un urto elastico tra due corpi.
Nota. Il fenomeno di scattering Compton è una delle prime prove sperimentali più dirette del comportamento corpuscolare della luce.
Formula dello scattering Compton
Il cambiamento nella lunghezza d’onda del fotone dopo l’urto è dato dalla formula dello scattering di Compton:
$$ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Dove
- $\lambda$ è la lunghezza d’onda iniziale del fotone
- $\lambda'$ è la lunghezza d’onda diffusa
- $\theta$ è l’angolo di scattering (deviazione del fotone)
- $\lambda_c$ è la lunghezza d’onda di Compton della particella bersaglio (es. elettrone)
La lunghezza d’onda di Compton $\lambda_c$ è definita come:
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
Dove $h$ è la costante di Planck, $m$ è la massa della particella (es. elettrone) e $c$ è la velocità della luce
Esempio. Per un elettrone la lunghezza d'onda di Compton è $$ \lambda_c \approx 2{,}426 \times 10^{-12} \text{ m} = 2{,}426 \, \text{pm} $$
La lunghezza d'onda di Compton è una lunghezza caratteristica per una particella massiva, perché rappresenta la scala alla quale gli effetti quantistici e relativistici diventano importanti.
Se si tenta di confinare una particella a spazi inferiori a $\lambda_c$, le fluttuazioni quantistiche sono tali da poter generare particelle-antiparticelle.
Nota. La lunghezza d'onda di Compton è collegata alla dualità onda-particella: associa una lunghezza d’onda a una particella massiva, ma diversa dalla lunghezza d'onda di de Broglie (che dipende dalla quantità di moto). Ad esempio, la lunghezza di Compton dipende solo dalla massa $$ \lambda_c = \frac{h}{mc} $$ La lunghezza d'onda di de Broglie, invece, dipende dalla quantità di moto $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
Un esempio pratico
Faccio un esempio numerico concreto di scattering Compton, cioè dell’aumento di lunghezza d’onda di un fotone dopo una collisione con un elettrone.
Considero un fotone con lunghezza d'onda iniziale $ \lambda $ nel campo dei raggi X
$$ \lambda = 0{,}030 \ \text{nm} = 3{,}00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Il fotone colpisce un elettrone libero e viene deviato con un angolo di 90°
$$ \theta = 90^\circ $$
La lunghezza d'onda di Compton è
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
Dove $h = 6{,}626 \times 10^{-34} \ \text{J·s}$ è la costante di Planck e $c = 3{,}00 \times 10^8 \ \text{m/s}$ è la velocità della luce.
$$ \lambda_c = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \ \text{J·s}}{m \times 3{,}00 \times 10^8 \ \text{m/s}} $$
La massa di un elettrone è $ m=m_e = 9{,}11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$
$$ \lambda_c = \frac{6{,}626 \times 10^{-34} \ \text{J·s}}{9{,}11 \times 10^{-31} \ \text{kg} \times 3{,}00 \times 10^8 \ \text{m/s}} $$
$$ \lambda_c \approx 2{,}426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
A questo punto applico la formula dello scattering Compton
$$ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Con $\theta = 90^\circ$ il coseno è nullo $\cos \theta = 0$
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos 90°) $$
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - 0) $$
$$ \Delta \lambda = \lambda_c $$
Quindi, sapendo che $ \lambda_c \approx 2{,}426 \times 10^{-12} \ \text{m} $
$$ \Delta \lambda = 2{,}426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
Infine, sapendo che $ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda $, calcolo della nuova lunghezza d’onda $ \lambda' $ del fotone
$$ \lambda' = \lambda + \Delta \lambda $$
$$ \lambda' = (3{,}00 \times 10^{-11}) \ m + (2{,}426 \times 10^{-12}) \ m $$
$$ \lambda' = (3{,}00 \times 10^{-11}) \ m + (0{,}2426 \times 10^{-11}) \ m $$
$$ \lambda' = 3{,}2426 \times 10^{-11} \ m $$
In conclusione, dopo la collisione con l’elettrone, la lunghezza d'onda del fotone è aumentata.
$$ \lambda' > \lambda = 3{,}00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Quindi, l'energia del fotone è leggermente diminuita.
Questo accade perché il fotone ha ceduto energia all’elettrone che ha acquisito quantità di moto.
Perché la lunghezza d'onda maggiore vuole dire minore energia? L'energia $ E $ di un fotone è data dalla relazione: $$ E = h \nu $$ Dove $h$ è la costante di Planck e $\nu$ è la frequenza della radiazione. La frequenza $ \nu $ e la lunghezza d’onda $ \lambda $ della radiazione sono legate da una relazione inversamente proporzionale $$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$ Quindi, sostituendo $ \nu $ nella prima formula ottengo $$ E = h \cdot \frac{c}{\lambda} $$ Questo vuol dire che se la lunghezza d'onda $ \lambda $ aumenta, l'energia $ E $ del fotone diminuisce e viceversa. A parità di velocità della luce, una frequenza più bassa (cioè onde più lunghe) trasporta meno energia per singolo fotone.
Questo dimostra che luce e materia scambiano quantità di moto come in un urto elastico, proprio come previsto dal modello quantistico-relativistico.
È una delle prove storiche del comportamento corpuscolare della luce.
E così via.
