Elettrodinamica Quantistica

L'elettrodinamica quantistica (QED = Quantum Electrodynamics) è la teoria quantistica che descrive come le particelle cariche (elettroni, positroni, quark, ecc.) interagiscono tra loro attraverso lo scambio di fotoni.

È considerata la più antica, semplice e di successo tra le teorie quantistiche dei campi:

Nasce per estendere l’elettromagnetismo classico di Maxwell alla meccanica quantistica e alla relatività ristretta ed è la teoria su cui si modellano molte altre (come la cromodinamica quantistica e la teoria elettrodebole).

L'elettrodinamica quantistica è stata formulata e perfezionata negli anni ’40 da Tomonaga, Feynman e Schwinger;

Perché è importante? È una teoria incredibilmente precisa: i calcoli della QED coincidono con gli esperimenti fino a 12 cifre decimali. Ha introdotto strumenti concettuali potentissimi, come i diagrammi di Feynman e le particelle virtuali. Inoltre, è il prototipo di tutte le teorie di gauge (modello standard incluso).

Come funziona in breve

La QED è la teoria che spiega tutte le interazioni elettromagnetiche in termini di scambio di fotoni tra particelle cariche.

In altre parole, le particelle cariche non interagiscono direttamente.

L’interazione avviene tramite lo scambio di fotoni virtuali, quelli che compaiono nelle linee interne dei diagrammi di Feynman.

Un elettrone può:

• emettere un fotone virtuale $$ e^- \rightarrow e^- + \gamma $$
• assorbire un fotone virtuale $$ e^- + \gamma \rightarrow e^-  $$

Nota. I fotoni reali sono quelli che possiamo osservare (per esempio, la luce). I fotoni virtuali sono invece effetti intermedi che non esistono come particelle libere e non sono osservabili, ma che mediano la forza. 

Ad esempio, nella visione classica, due elettroni si respingono perché hanno la stessa carica (repulsione coulombiana).

Nella QED, invece, questa repulsione è spiegata come scambio continuo di fotoni virtuali tra i due elettroni.

Questi fotoni virtuali trasportano quantità di moto, e il loro scambio provoca una deviazione delle traiettorie degli elettroni, che così finiscono per allontanarsi l’uno dall’altro.

Questo fenomeno nella QED è chiamato diffusione di Møller perché l’interazione avviene tra due elettroni.

$$ e^- + e^- \rightarrow e^- + e^- $$

Così, ogni volta che due particelle cariche si “sentono” a distanza, non si tratta di un’azione istantanea a distanza (come si pensava nella fisica classica), bensì del risultato dello scambio quantistico di fotoni virtuali.

Nota. Se le cariche delle particelle hanno lo stesso segno, lo scambio di fotoni virtuali si traduce in una repulsione. Se, invece, hanno segno opposto, produce un’attrazione. I fotoni virtuali, dunque, sono le particelle messaggere dell’interazione elettromagnetica e possono mediare sia la repulsione sia l’attrazione, a seconda delle cariche coinvolte. È un aspetto importante da ricordare, perché spesso si tende a pensare che “trasmettano solo la repulsione”.

Esempi

Ecco alcuni esempi di processi descritti dalla QED

1] La diffusione di Compton

Un elettrone urta contro un fotone reale e lo devia.

$$ e^- + \gamma \;\longrightarrow\; e^- + \gamma $$

È il processo in cui un fotone urta un elettrone e ne esce deviato con lunghezza d’onda diversa (effetto Compton).

Serve a dimostrare la natura corpuscolare della luce.

Ecco come si presenta in un diagramma di Feynman con il tempo che scorre verso l'alto.

2] Annichilazione

È il processo in cui un elettrone ($e^-$) e un positrone ($e^+$, la sua antiparticella) si incontrano e si trasformano in energia sotto forma di fotoni.

$$ e^- + e^+ \;\;\longrightarrow\;\; \gamma + \gamma $$

Per la conservazione dell’energia e della quantità di moto, non basta un solo fotone finale: servono almeno due fotoni, emessi in direzioni opposte.

Ciascun fotone è infatti la propria antiparticella, e la coppia garantisce che il bilancio complessivo delle grandezze fisiche sia rispettato.

Ecco come viene rappresentata l'annichilazione di un elettrone e un positrone in un diagramma di Feynman.

Dove la freccia in senso opposto al tempo indica l'antiparticella dell'elettrone (ossia il positrone).

In breve, l'annichilazione di un elettrone e un positrone è il processo inverso della produzione di coppie ($\gamma + \gamma \to e^- + e^+$).

3] La produzione di coppie

È il processo inverso dell’annichilazione: un fotone ad alta energia si trasforma in una coppia particella - antiparticella, tipicamente un elettrone e un positrone:

$$ \gamma + \gamma  \;\;\longrightarrow\;\; e^- + e^+ $$

Due fotoni si trasformano in una coppia elettrone-positrone.

In altre parole, la produzione di coppie è la conversione dell’energia di un fotone in materia (particella + antiparticella).

 

È il processo inverso dell'annichilazione e dimostra l’equivalenza massa - energia $E = mc^2$.

Nota. Questo processo non può avvenire nel vuoto: un singolo fotone non può trasformarsi da solo in una coppia, perché violerebbe la conservazione della quantità di moto, serve la presenza di un nucleo (o, più raramente, di un altro elettrone) che funga da “bersaglio” e assorba parte della quantità di moto. Perciò, il processo reale è: $$ \gamma + N \;\; \longrightarrow\;\; e^- + e^+ + N $$ Dove $N$ è il nucleo che rimane quasi inalterato. Un fotone gamma che urta un atomo pesante può produrre una coppia $e^- + e^+$.

4] La diffusione di Bhabha

È lo scattering elastico tra un elettrone e un positrone

$$ e^- + e^+ \;\;\longrightarrow\;\; e^- + e^+ $$

Prende il nome dal fisico indiano Homi Jehangir Bhabha (1935), che fu il primo a calcolarne la sezione d’urto in QED.

L’elettrone e il positrone si annichilano in un fotone virtuale.

$$ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma $$

Subito dopo il fotone produce una nuova coppia di elettroni $e^- + e^+$.

$$ \gamma + \gamma  \rightarrow e^+ + e^- $$

Quindi, un elettrone e un positrone entrano nel processo e un elettrone e un positrone escono. Non sono gli stessi ma, essendo gli elettroni tutti uguali, la cosa è indifferente.

Nota. Un fotone che compare come linea interna in un diagramma di Feynman è una particella virtuale, non vincolata alla relazione di dispersione $ E = pc $: può avere massa ed energia qualsiasi, ossia trovarsi "fuori dal guscio" (off-shell). Per questo il diagramma può rappresentare un singolo fotone virtuale senza violare la conservazione a quel vertice. Nella realtà fisica, invece, l’annichilazione elettrone-positrone produce sempre due fotoni reali per conservare energia e quantità di moto, e le linee esterne del diagramma descrivono proprio queste particelle reali, come nel caso della diffusione di Bhabha, dove il risultato finale è ancora una coppia elettrone-positrone.

Qual è la differenza tra fotoni reali e fotoni virtuali?

Nella QED è molto importante distinguere tra fotoni reali e fotoni virtuali.

• Fotoni reali
  Un fotone reale è un quanto osservabile del campo elettromagnetico. Viaggia libero nello spazio alla velocità della luce e rispetta la relazione energia-momento ossia sta “sul guscio di massa” (on-shell): $$ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \quad \;\; \text{con } m=0 \;\Rightarrow\; E = pc $$ Può essere rilevato da un rivelatore (es. luce visibile, raggi X, raggi gamma).

  Ad esempio: la luce che arriva dal Sole, un raggio laser, un fotone gamma prodotto in un decadimento. In pratica, i fotoni reali sono quelli che costituiscono la radiazione elettromagnetica osservabile.

• Fotoni virtuali
  I fotoni virtuali sono considerati i “messaggeri nascosti” dell’interazione elettromagnetica, lo scambio di fotoni virtuali produce. Ad esempio, la forza di Coulomb tra due elettroni o tra elettrone e protone. Tuttavia, un fotone virtuale non è una particella che possiamo osservare direttamente: compare solo come linea interna nei diagrammi di Feynman, nei processi di interazione tra particelle cariche. In un diagramma di Feynman solo le linee esterne sono particelle reali. A differenza dei fotoni reali, non è vincolato dalla relazione $E = pc$. Quindi, può avere energia e quantità di moto che non corrispondono a quelle di un fotone libero. Per questo si dice che è fuori dal guscio di massa (off-shell). In altre parole, parlare di “fotone virtuale” è un compromesso linguistico nato in un’epoca in cui si cercava di rendere intuitiva la QED con il linguaggio dei diagrammi di Feynman, ma in realtà il “fotone virtuale” non è una particella.

  Nota. A volte si spiega che i fotoni virtuali “esistono solo per un tempo brevissimo” grazie al principio di indeterminazione di Heisenberg: $$ \Delta E \, \Delta t \gtrsim \hbar $$ Questo significa che il sistema può “sforare” di una quantità $\Delta E$ nel bilancio energetico, ma solo per un tempo brevissimo $\Delta t$. Più grande è la violazione energetica, più breve dev’essere la durata. Questa è un’immagine utile per capire intuitivamente perché  fotoni virtuali possano apparire anche senza rispettare le regole dei fotoni reali. In realtà, però, i fotoni virtuali non hanno una vita propria: sono termini matematici nei calcoli della QED. La conservazione dell’energia e della quantità di moto vale sempre ai vertici dell’interazione. Ciò che manca, tra un vertice e l’altro, è solo la condizione di essere un fotone libero.

La schermatura nella QED

Nell’elettrodinamica quantistica (QED) il vuoto non è davvero vuoto ma è popolato da fluttuazioni quantistiche che possono dare origine, per un tempo brevissimo, a coppie virtuali elettrone - positrone, rappresentate nei diagrammi di Feynman tramite un loop di fermioni collegato a una linea di fotone virtuale. 

Quindi, il vuoto si comporta come un mezzo dielettrico. Questo fenomeno prende il nome di polarizzazione del vuoto.

Una carica elettrica reale (ad esempio un elettrone) interagisce con queste coppie virtuali.

I positroni virtuali (carica positiva) tendono ad avvicinarsi alla carica negativa dell’elettrone, mentre gli elettroni virtuali (carica negativa) vengono respinti.

In questo modo, attorno alla particella si forma una sorta di “nube” di carica opposta che riduce l’intensità del campo elettrico esterno.

Per un osservatore distante, la carica effettiva $ q_e $ sembra dunque meno intensa di quanto non sia realmente $ q $.

Questo fenomeno è conosciuto come schermatura del vuoto.

Tuttavia, se si indaga a distanze molto piccole (ovvero a energie elevate), si penetra dentro la nube di polarizzazione e si misura una carica effettiva più grande.

Questo spiega perché la costante di accoppiamento elettrone-fotone $ \alpha $ non è fissa, ma varia con la scala di energia, un effetto noto come running della costante di accoppiamento.

Nota. Analogamente lo stesso accade con le cariche positive. In questo caso sono gli elettroni virtuali delle coppie ad avvicinarsi e i positroni virtuali ad allontanarsi. Il risultato è ancora una polarizzazione del vuoto. 

 

Poiché la carica reale è "schermata", può essere misurata solo a piccole distanze. 

Quindi, la carica elettrica che misuriamo abitualmente con gli strumenti è quella "effettiva", ossia quella schermata.

E così via.