La regola d’oro di Fermi
La regola d’oro di Fermi è la formula che permette di calcolare il tasso di transizione di un sistema quantistico da uno stato iniziale a uno stato finale. In altre parole, serve per determinare quanto spesso avviene un processo: un decadimento o un urto tra particelle.
La sua forma concettuale è:
\[ \Gamma \ \propto \ |\mathcal{M}|^2 \times \text{spazio delle fasi} \]
Dove:
- \( \Gamma \) è il tasso di transizione da uno stato iniziale a uno finale (probabilità per unità di tempo)
- \( \mathcal{M} \) è l’ampiezza del processo, ossia la quantità che descrive quanto è efficace l’interazione nel trasformare lo stato iniziale nello stato finale.
- lo spazio delle fasi descrive i possibili stati finali compatibili con le leggi di conservazione.
La formula separa chiaramente la dinamica dalla cinematica. La dinamica descrive quanto è forte l’interazione e come avviene il processo. La cinematica indica quanti stati finali sono disponibili e in quanti modi il processo può avvenire.
Quindi, può capitare che un processo sia dinamicamente favorito ma cinematicamente sfavorito, oppure viceversa.
Nota. La Regola d’Oro di Fermi è uno dei risultati più importanti della teoria quantistica dei campi, perché permette di collegare la struttura microscopica delle interazioni (diagrammi, accoppiamenti) con osservabili sperimentali come vite medie e sezioni d’urto.
La formula completa (forma standard)
La formula completa della Regola d’Oro di Fermi è \[ \Gamma = \frac{2\pi}{\hbar} |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Dove \( \rho(E) \) è la densità di stati finali (spazio delle fasi) e \( \hbar \) è la costante di Planck ridotta.
Quindi, un processo è frequente solo se:
- l’interazione è efficace, ossia \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande
- esistono molti stati finali compatibili, ossia lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande
Se uno dei due fattori è piccolo, il processo è raro.
L’ampiezza del processo \( \mathcal{M} \)
L’ampiezza \( \mathcal{M} \) è la quantità che descrive come avviene l’interazione.
Il suo quadrato modulo \( |\mathcal{M}|^2 \) misura l’“efficacia” del meccanismo microscopico.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande, l’interazione è intensa e il processo è favorito.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo, l’interazione è debole e il processo è raro.
Questo valore dipende dal tipo di interazione (forte, elettromagnetica, debole), dalle costanti di accoppiamento, dalla struttura dei diagrammi di Feynman, dallo spin e dalle cariche delle particelle coinvolte.
Ad esempio, il decadimento tramite interazione forte avviene tipicamente in tempi dell’ordine di \( 10^{-23} \) s. Un decadimento debole può richiedere \( 10^{-8} \) s o più. La differenza è dovuta alla diversa grandezza di \( |\mathcal{M}|^2 \).
Lo spazio delle fasi
Lo spazio delle fasi misura quanti modi diversi esistono per distribuire energia e quantità di moto tra le particelle finali di un processo, nel rispetto delle leggi di conservazione.
È una quantità puramente cinematica, perché non dipende dal tipo di forza, ma dalle masse delle particelle e dall’energia totale disponibile.
- Se l’energia disponibile è grande, le particelle finali possono muoversi con molte velocità diverse, distribuirsi in molte direzioni e condividere l’energia in molte combinazioni compatibili. In questo caso, lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande.
- Se l’energia disponibile è piccola, le velocità possibili sono limitate, le configurazioni compatibili sono poche e i vincoli cinematici sono forti. In questo caso lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è piccolo.
Esempio
Considero una particella molto pesante che decade in due particelle leggere.
\[ X \rightarrow a + b \]
In questo caso la massa di \( X \) è molto grande delle masse di \( a \) e \( b \).
Sapendo dalla formual $ E =mc^2 $ che la differenza di massa si trasforma in energia cinetica dei prodotti, poiché c'è una grande differenza di massa, l'energia cinetica disponibile dei prodotti \( a \) e \( b \) è grande.
Questo significa che non sono “costrette” a configurazioni particolari, bensì hanno molte possibilità cinematiche. Le particelle possono avere impulsi elevati e percorrere molte direzioni possibili di emissione.
Di conseguenza, le particelle possono distribuire l’energia in modi differenti, rispettando la conservazione di energia e quantità di moto, ossia uno spazio degli stati grande.
\[ \rho(E) \ \text{è grande} \]
La Regola d’Oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Quindi, se lo spazio delle fasi è grande, a parità di ampiezza dinamica, il tasso di decadimento aumenta, il processo è più probabile e la vita media delle particelle è più breve
In questo caso, si tratta di un effetto puramente cinematico che non dipende da “quanto è forte” l’interazione, ma solo da quante possibilità ha il sistema di realizzare il decadimento.
Nota. L'idea chiave è che maggiore è l’energia disponibile, maggiore è il numero di stati finali compatibili. Più stati finali sono accessibili, più il processo è favorito.
Esempio 2
Il decadimento beta del neutrone è il processo:
\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]
Un neutrone libero si trasforma in un protone, un elettrone e un antineutrino elettronico.
È un processo mediato dall’interazione debole.
Quanta energia è disponibile?
La massa del neutrone è leggermente maggiore di quella del protone.
La differenza è circa:
\[ \Delta m \approx 1.29 \ \text{MeV} \]
Questa piccola differenza di massa si trasforma in energia disponibile per i prodotti finali.
Ma attenzione, una parte serve per “creare” la massa dell’elettrone \( 0.511 MeV \).
Quindi, l’energia cinetica totale disponibile è modesta.
Poiché l’energia totale è limitata, l’elettrone non può avere energia arbitraria, l’antineutrino ha uno spettro limitato, le configurazioni compatibili con la conservazione di energia e quantità di moto sono poche.
In termini tecnici, la densità di stati finali è ridotta.
\[ \rho(E) \ \text{è piccolo} \]
Pertanto, lo spazio delle fasi è limitato.
La Regola d’Oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Nel decadimento beta l’interazione è debole, quindi \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo
Poiché anche lo spazio delle fasi è limitato \( \rho(E) \) è piccolo, il prodotto dei due fattori è molto piccolo.
Questo vuol dire che la probabilità per unità di tempo che avvenga il processo è bassa, ossia il processo è raro.
Di conseguenza, la vita media del neutrone è più lunga rispetto ai processi forti o elettromagnetici.
Nota. I risultati sperimentali confermano la previsione. La vita media del neutrone libero è \( \tau \approx 880 \ \text{s} \), quasi 15 minuti. Per fare un confronto, un decadimento forte avviene in \(10^{-23} \) s e un decadimento elettromagnetico in \( 10^{-16} \)... la differenza è enorme.
In conclusione, il neutrone decade lentamente non solo perché l’interazione è debole, ma anche perché l'energia disponibile è piccola e ci sono poche configurazioni finali possibili (spazio delle fasi ridotto).
Questo esempio mostra in modo concreto come la Regola d’Oro di Fermi combini dinamica e cinematica.
E così via.
