La regola d’oro di Fermi
La regola d’oro di Fermi è la formula che permette di calcolare il tasso di transizione di un sistema quantistico da uno stato iniziale a uno stato finale, cioè la probabilità per unità di tempo che un processo avvenga.
Nei decadimenti la regola d’oro permette di calcolare la larghezza di decadimento $ \Gamma $ e quindi la vita media della particella. Nei processi di scattering consente, invece, di ricavare le sezioni d’urto $ \sigma $.
In forma schematica, la regola d'oro può essere riassunta come
\[ \Gamma \ \propto \ |\mathcal{M}|^2 \times \rho \]
Dove:
- \( \Gamma \) è il tasso di transizione da uno stato iniziale a uno finale (probabilità per unità di tempo)
- \( \mathcal{M} \) è l’ampiezza del processo, ossia la quantità che descrive quanto è efficace l’interazione nel trasformare lo stato iniziale nello stato finale. Quindi, \( | \mathcal{M} |^2 \) misura il contributo della dinamica dell'interazione al processo. In generale, i processi mediati dall'interazione forte tendono ad avere ampiezze maggiori rispetto a quelli mediati dall'interazione debole.
- \( \rho \) è la densità degli stati finali, cioè il fattore di spazio delle fasi disponibile per il processo. Indica quanti stati finali sono compatibili con le leggi di conservazione. Ad esempio, se un processo può avvenire in molti modi, lo spazio delle fasi è grande e il processo è più probabile.
La regola dice che la probabilità di un processo dipende da due fattori: quanto è forte l’interazione (dinamica) e quante possibilità (cinematica) ha il sistema di realizzare lo stato finale, ossia quanti stati finali sono disponibili e in quanti modi il processo può avvenire.
In altre parole, più la dinamica dell'interazione ( ampiezza \( \mathcal{M} \) ) e la cinematica dello stato finale ( spazio delle fasi \( \rho \) ) sono grandi, più il processo avviene facilmente.
Può anche capitare che un processo sia dinamicamente favorito ma cinematicamente sfavorito, oppure viceversa.
Da questo si deduce la vita media di una particella. Tanto più è probabile un processo di decadimento, tanto più bassa la vita media della particella.
\[ \tau = \frac{1}{\Gamma} \]
A cosa serve la regola? La regola d'oro di Fermi permette di determinare quanto spesso avviene un processo: un decadimento o un urto tra particelle (scattering). E' uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e trova ampia applicazione nella teoria quantistica dei campi, dove permette di collegare le ampiezze di transizione con dati sperimentali come vite medie, larghezze di decadimento e sezioni d’urto.
La formula completa della regola d'oro di Fermi
La formula completa (o standard) della regola d’oro di Fermi è \[ \Gamma = \frac{2\pi}{\hbar} |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Dove \( \rho(E) \) è la densità di stati finali (spazio delle fasi) e \( \hbar \) è la costante di Planck ridotta.
Quindi, un processo è frequente solo se:
- l’interazione è efficace, ossia \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande
- esistono molti stati finali compatibili, ossia lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande
Se uno dei due fattori è piccolo, il processo è raro.
Un esempio pratico
Faccio un esempio numerico per capire meglio il concetto.
Caso A
Una particella \(X\) decade in due particelle leggere.
L'ampiezza vale
\[ |\mathcal{M}|^2 = 4 \]
Lo spazio delle fasi vale
\[ \Phi = 100 \]
La regola d'oro dice
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \Phi \]
\[ \Gamma \propto 4 \times 100 \]
\[ \Gamma \propto 400 \]
Caso B
L'interazione è identica, l'ampiezza è la stessa:
\[ |\mathcal{M}|^2 = 4 \]
Stavolta, però, i prodotti finali sono quasi alla soglia energetica e hanno pochissimo spazio delle fasi:
\[ \Phi = 2 \]
In questo caso la regola d'oro restituisce un risultato diverso
\[ \Gamma \propto 4 \times 2 \]
\[ \Gamma \propto 8 \]
Confronto
Nel primo caso:
\[ \Gamma_A = 400 \]
Nel secondo:
\[ \Gamma_B = 8 \]
Il rapporto è
\[ \frac{\Gamma_A}{\Gamma_B} = \frac{400}{8} = 50 \]
Quindi il decadimento A avviene 50 volte più frequentemente del decadimento B, pur avendo la stessa interazione.
La differenza è dovuta soltanto allo spazio delle fasi.
Esempio 2
Considero il decadimento del neutrone
\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]
La massa del neutrone è
\[ 939.565 \text{ MeV} \]
Le masse finali minime sono
\[ 938.272 + 0.511 = 938.783 \text{ MeV} \]
L'energia disponibile è quindi
\[ Q = 939.565 - 938.783 = 0.782 \text{ MeV} \]
Solo 0.782 MeV possono essere distribuiti tra elettrone e neutrino. Quindi, lo spazio delle fasi è piccolo.
Per questo il neutrone vive mediamente \( 880 \text{ s} \) (circa 15 minuti). molto più a lungo rispetto ad altre particelle,
Esempio 3
Ora analizzo il decadimento del pione carico
\[ \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \]
La massa del pione è
\[ 139.57 \text{ MeV} \]
La massa del muone è
\[ 105.66 \text{ MeV} \]
L'energia disponibile è
\[ 139.57 - 105.66 = 33.91 \text{ MeV} \]
cioè circa 43 volte più energia disponibile rispetto al neutrone.
\[ \frac{33.91}{0.782} \approx 43 \]
In questo caso, lo spazio delle fasi è molto più ampio.
Infatti il pione vive solo \( 2.6 \times 10^{-8}\ \text{s} \) (26 nanosecondi).
Nota. Naturalmente il risultato non dipende solo dallo spazio delle fasi, ma questo esempio mostra bene l'idea: più energia disponibile significa generalmente più configurazioni finali possibili e quindi un decadimento più probabile.
L’ampiezza del processo \( \mathcal{M} \)
L’ampiezza \( \mathcal{M} \) è la quantità che descrive come avviene l’interazione.
Il suo quadrato modulo \( |\mathcal{M}|^2 \) misura l’“efficacia” del meccanismo microscopico.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande, l’interazione è intensa e il processo è favorito.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo, l’interazione è debole e il processo è raro.
Questo valore dipende dal tipo di interazione (forte, elettromagnetica, debole), dalle costanti di accoppiamento, dalla struttura dei diagrammi di Feynman, dallo spin e dalle cariche delle particelle coinvolte.
Ad esempio, il decadimento tramite interazione forte avviene tipicamente in tempi dell’ordine di \( 10^{-23} \) s. Un decadimento debole può richiedere \( 10^{-8} \) s o più. La differenza è dovuta alla diversa grandezza di \( |\mathcal{M}|^2 \).
Lo spazio delle fasi
Lo spazio delle fasi misura quanti modi diversi esistono per distribuire energia e quantità di moto tra le particelle finali di un processo, nel rispetto delle leggi di conservazione.
È una quantità puramente cinematica, perché non dipende dal tipo di forza, ma dalle masse delle particelle e dall’energia totale disponibile.
- Se l’energia disponibile è grande, le particelle finali possono muoversi con molte velocità diverse, distribuirsi in molte direzioni e condividere l’energia in molte combinazioni compatibili. In questo caso, lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande.
- Se l’energia disponibile è piccola, le velocità possibili sono limitate, le configurazioni compatibili sono poche e i vincoli cinematici sono forti. In questo caso lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è piccolo.
Esempio
Considero una particella molto pesante che decade in due particelle leggere.
\[ X \rightarrow a + b \]
In questo caso la massa di \( X \) è molto più grande delle masse di \( a \) e \( b \).
Sapendo dalla formual $ E =mc^2 $ che la differenza di massa si trasforma in energia cinetica dei prodotti, poiché c'è una grande differenza di massa, l'energia cinetica disponibile dei prodotti \( a \) e \( b \) è grande.
Questo significa che non sono “costrette” a configurazioni particolari, bensì hanno molte possibilità cinematiche. Le particelle possono avere impulsi elevati e percorrere molte direzioni possibili di emissione.
Di conseguenza, le particelle possono distribuire l’energia in modi differenti, rispettando la conservazione di energia e quantità di moto, ossia lo spazio degli stati è grande.
\[ \rho(E) \ \text{è grande} \]
La regola d’oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Quindi, se lo spazio delle fasi è grande, a parità di ampiezza dinamica, il tasso di decadimento aumenta, il processo è più probabile e la vita media delle particelle è più breve.
In questo caso, si tratta di un effetto puramente cinematico che non dipende da “quanto è forte” l’interazione, ma solo da quante possibilità ha il sistema di realizzare il decadimento.
Nota. L'idea chiave è che maggiore è l’energia disponibile, maggiore è il numero di stati finali compatibili. Più stati finali sono accessibili, più il processo è favorito.
Esempio 2
Il decadimento beta del neutrone è il processo:
\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]
Un neutrone libero si trasforma in un protone, un elettrone e un antineutrino elettronico.
È un processo mediato dall’interazione debole.
Quanta energia è disponibile?
La massa del neutrone è leggermente maggiore di quella del protone.
La differenza è circa:
\[ \Delta m \approx 1.29 \ \text{MeV} \]
Questa piccola differenza di massa si trasforma in energia disponibile per i prodotti finali.
Ma attenzione, una parte serve per “creare” la massa dell’elettrone \( 0.511 MeV \). Quindi, l’energia cinetica totale disponibile è ancora più bassa.
\[ \Delta m \approx ( 1.29 - 0.511 ) \ \text{MeV} \approx 0.78 \ \text{MeV} \]
Poiché l’energia totale è limitata, l’elettrone non può avere energia arbitraria, l’antineutrino ha uno spettro limitato, le configurazioni compatibili con la conservazione di energia e quantità di moto sono poche.
In termini tecnici, la densità di stati finali è ridotta.
\[ \rho(E) \ \text{è piccolo} \]
Pertanto, lo spazio delle fasi è limitato. La regola d’oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Nel decadimento beta l’interazione è debole, quindi \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo.
Poiché anche lo spazio delle fasi è limitato \( \rho(E) \) è piccolo, il prodotto dei due fattori è molto piccolo.
Questo vuol dire che la probabilità per unità di tempo che avvenga il processo è bassa, ossia il processo è raro.
Di conseguenza, la vita media del neutrone è più lunga rispetto ai processi forti o elettromagnetici.
Nota. I risultati sperimentali confermano la previsione. La vita media del neutrone libero è \( \tau \approx 880 \ \text{s} \), quasi 15 minuti. Per fare un confronto, un decadimento forte avviene in \(10^{-23} \) s e un decadimento elettromagnetico in \( 10^{-16} \)... la differenza è enorme.
In conclusione, il neutrone decade lentamente non solo perché l’interazione è debole, ma anche perché l'energia disponibile è piccola e ci sono poche configurazioni finali possibili (spazio delle fasi ridotto).
Questo esempio mostra in modo concreto come la regola d’oro di Fermi combini dinamica e cinematica.
La regola d'oro di Fermi nel decadimento di una particella
Consideriamo una particella instabile di massa \( m_1 \) che decade in \( n \) particelle finali.
La regola d'oro di Fermi afferma che la larghezza di decadimento \( \Gamma \) è proporzionale al modulo quadro dell'ampiezza di transizione e alla densità degli stati finali disponibili:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \times \rho \]
Questa relazione mette in evidenza i due ingredienti fondamentali di qualsiasi processo di decadimento:
- la dinamica dell'interazione, descritta da \( |\mathcal{M}|^2 \)
- la cinematica del processo, descritta dalla densità degli stati finali \( \rho \)
Nella teoria quantistica dei campi la densità degli stati viene sostituita dallo spazio delle fasi relativistico. La formula assume quindi la forma
\[ \Gamma = \frac{S}{2m_1} \int |\mathcal M|^2 , d\Phi_n \]
Dove:
- \(m_1 \) è la massa della particella iniziale
- \( S \) è un fattore di simmetria per particelle finali identiche
- \(d\Phi_n \) è l'elemento di spazio delle fasi relativistico a \( n \) corpi
In questa espressione il termine \( |\mathcal M|^2 \) rappresenta la dinamica dell'interazione, mentre \( d\Phi_n \) contiene tutte le informazioni cinematiche sul decadimento.
Lo spazio delle fasi relativistico può essere scritto esplicitamente come
\[ d\Phi_n = (2\pi)^4 \delta^4 !\left( p_1-\sum_{j=2}^{n} p_j \right) \prod_{j=2}^{n} 2\pi, \delta !\left( p_j^2-m_j^2 c^2 \right) \theta(p_j^0) \frac{d^4p_j}{(2\pi)^4} \]
Sostituendo questa espressione nella formula precedente si ottiene la forma completa della larghezza di decadimento:
\[ \Gamma = \frac{S}{2m_1} \int |\mathcal M|^2 (2\pi)^4 \delta^4 !\left( p_1-p_2-p_3-\cdots-p_n \right) \prod_{j=2}^{n}
2\pi, \delta !\left( p_j^2-m_j^2 c^2 \right) \theta(p_j^0) \frac{d^4p_j}{(2\pi)^4} \]
I vari fattori hanno un significato fisico preciso:
- \(p_i \) sono i quadrimpulsi delle particelle
- la delta di Dirac a quattro dimensioni impone la conservazione dell'energia e della quantità di moto
- la funzione \( \delta(p_j^2-m_j^2c^2) \) impone che ogni particella finale soddisfi la relazione relativistica tra energia, impulso e massa
- la funzione \( \theta(p_j^0) \) seleziona soltanto gli stati a energia positiva
La formula mostra chiaramente che la probabilità di decadimento dipende sia dall'intensità dell'interazione, contenuta in \( |\mathcal M|^2 \), sia dal numero di configurazioni cinematiche consentite ai prodotti finali, contenute nello spazio delle fasi relativistico.
Un esempio pratico
Considero un decadimento molto semplice:
\[ A \rightarrow B + C \]
Supponiamo che il calcolo dei diagrammi di Feynman fornisca
\[ |\mathcal M|^2 = 2.5 \times 10^{-10} \]
e che l'integrazione dello spazio delle fasi sia
\[ \Phi_2 = 4.0 \times 10^{8} \ \text{eV} \]
La larghezza di decadimento è
\[ \Gamma = |\mathcal M|^2 \Phi_2 \]
Trascuro per semplicità i fattori numerici come \(2\pi\) e \(1/2m_A\) e sostituisco i valori:
\[ \Gamma = (2.5 \times 10^{-10}) (4.0 \times 10^{8}) \]
\[ \Gamma = 1.0 \times 10^{-1} \ \text{eV} \]
Quindi, ottengo
\[ \Gamma = 0.1 \ \text{eV} \]
Dalla larghezza di decadimento ricavo la vita media della particella:
\[ \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} \]
Sapendo che \( \hbar = 6.58 \times 10^{-16} \ \text{eV s} \)
\[ \tau = \frac{6.58 \times 10^{-16}} {0.1} \]
\[ \tau = 6.58 \times 10^{-15} \ \text{s} \]
Quindi la particella ha una vita media di circa
\[ \tau \approx 6.6 \times 10^{-15} \ \text{s} \]
In breve, \( |\mathcal M|^2 \) misura quanto è efficace l'interazione, \( \Phi_2 \) misura quanto spazio delle fasi è disponibile, Il loro prodotto determina la larghezza di decadimento \( \Gamma \). Una larghezza maggiore implica una vita media più breve.
E così via.
