La regola d’oro di Fermi
La regola d’oro di Fermi è la formula che permette di calcolare il tasso di transizione $ \Gamma $ di un sistema quantistico da uno stato iniziale a uno stato finale, cioè la probabilità per unità di tempo che un processo avvenga.
La regola d’oro si riassume nella seguente relazione generale:
\[ \Gamma \ \propto \ |\mathcal{M}|^2 \times \rho \]
Dove:
- \( \Gamma \) è il tasso di transizione da uno stato iniziale a uno finale (probabilità per unità di tempo)
- \( \mathcal{M} \) è l’ampiezza del processo, ossia la quantità che descrive quanto è efficace l’interazione nel trasformare lo stato iniziale nello stato finale. Quindi, \( | \mathcal{M} |^2 \) è la probabilità di transizione determinata dalla dinamica dell'interazione. Ad esempio, se l'interazione è forte l'ampiezza è grande e il processo è più probabile.
- \( \rho \) è la densità degli stati finali, cioè il fattore di spazio delle fasi disponibile per il processo. Indica quanti stati finali sono compatibili con le leggi di conservazione. Ad esempio, se un processo può avvenire in molti modi, lo spazio delle fasi è grande e il processo è più probabile.
La regola dice che la probabilità di un processo dipende da due fattori: quanto è forte l’interazione (dinamica) e quante possibilità (cinematica) ha il sistema di realizzare lo stato finale, ossia quanti stati finali sono disponibili e in quanti modi il processo può avvenire.
In altre parole, più la dinamica dell'interazione ( ampiezza \( \mathcal{M} \) ) e la cinematica dello stato finale ( spazio delle fasi \( \rho \) ) sono grandi, più il processo avviene facilmente.
Può anche capitare che un processo sia dinamicamente favorito ma cinematicamente sfavorito, oppure viceversa.
A cosa serve la regola?
La regola d'oro di Fermi permette di determinare quanto spesso avviene un processo: un decadimento o un urto tra particelle (scattering).
Nota. La Regola d’Oro di Fermi è uno dei risultati fondamentali della teoria quantistica dei campi, perché permette di collegare la struttura microscopica delle interazioni (diagrammi, accoppiamenti) con osservabili sperimentali come vite medie e sezioni d’urto.
La formula completa (forma standard)
La formula completa della Regola d’Oro di Fermi è \[ \Gamma = \frac{2\pi}{\hbar} |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Dove \( \rho(E) \) è la densità di stati finali (spazio delle fasi) e \( \hbar \) è la costante di Planck ridotta.
Quindi, un processo è frequente solo se:
- l’interazione è efficace, ossia \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande
- esistono molti stati finali compatibili, ossia lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande
Se uno dei due fattori è piccolo, il processo è raro.
L’ampiezza del processo \( \mathcal{M} \)
L’ampiezza \( \mathcal{M} \) è la quantità che descrive come avviene l’interazione.
Il suo quadrato modulo \( |\mathcal{M}|^2 \) misura l’“efficacia” del meccanismo microscopico.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è grande, l’interazione è intensa e il processo è favorito.
- Se \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo, l’interazione è debole e il processo è raro.
Questo valore dipende dal tipo di interazione (forte, elettromagnetica, debole), dalle costanti di accoppiamento, dalla struttura dei diagrammi di Feynman, dallo spin e dalle cariche delle particelle coinvolte.
Ad esempio, il decadimento tramite interazione forte avviene tipicamente in tempi dell’ordine di \( 10^{-23} \) s. Un decadimento debole può richiedere \( 10^{-8} \) s o più. La differenza è dovuta alla diversa grandezza di \( |\mathcal{M}|^2 \).
Lo spazio delle fasi
Lo spazio delle fasi misura quanti modi diversi esistono per distribuire energia e quantità di moto tra le particelle finali di un processo, nel rispetto delle leggi di conservazione.
È una quantità puramente cinematica, perché non dipende dal tipo di forza, ma dalle masse delle particelle e dall’energia totale disponibile.
- Se l’energia disponibile è grande, le particelle finali possono muoversi con molte velocità diverse, distribuirsi in molte direzioni e condividere l’energia in molte combinazioni compatibili. In questo caso, lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è grande.
- Se l’energia disponibile è piccola, le velocità possibili sono limitate, le configurazioni compatibili sono poche e i vincoli cinematici sono forti. In questo caso lo spazio delle fasi \( \rho(E) \) è piccolo.
Esempio
Considero una particella molto pesante che decade in due particelle leggere.
\[ X \rightarrow a + b \]
In questo caso la massa di \( X \) è molto grande delle masse di \( a \) e \( b \).
Sapendo dalla formual $ E =mc^2 $ che la differenza di massa si trasforma in energia cinetica dei prodotti, poiché c'è una grande differenza di massa, l'energia cinetica disponibile dei prodotti \( a \) e \( b \) è grande.
Questo significa che non sono “costrette” a configurazioni particolari, bensì hanno molte possibilità cinematiche. Le particelle possono avere impulsi elevati e percorrere molte direzioni possibili di emissione.
Di conseguenza, le particelle possono distribuire l’energia in modi differenti, rispettando la conservazione di energia e quantità di moto, ossia uno spazio degli stati grande.
\[ \rho(E) \ \text{è grande} \]
La Regola d’Oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Quindi, se lo spazio delle fasi è grande, a parità di ampiezza dinamica, il tasso di decadimento aumenta, il processo è più probabile e la vita media delle particelle è più breve
In questo caso, si tratta di un effetto puramente cinematico che non dipende da “quanto è forte” l’interazione, ma solo da quante possibilità ha il sistema di realizzare il decadimento.
Nota. L'idea chiave è che maggiore è l’energia disponibile, maggiore è il numero di stati finali compatibili. Più stati finali sono accessibili, più il processo è favorito.
Esempio 2
Il decadimento beta del neutrone è il processo:
\[ n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e \]
Un neutrone libero si trasforma in un protone, un elettrone e un antineutrino elettronico.
È un processo mediato dall’interazione debole.
Quanta energia è disponibile?
La massa del neutrone è leggermente maggiore di quella del protone.
La differenza è circa:
\[ \Delta m \approx 1.29 \ \text{MeV} \]
Questa piccola differenza di massa si trasforma in energia disponibile per i prodotti finali.
Ma attenzione, una parte serve per “creare” la massa dell’elettrone \( 0.511 MeV \).
Quindi, l’energia cinetica totale disponibile è modesta.
Poiché l’energia totale è limitata, l’elettrone non può avere energia arbitraria, l’antineutrino ha uno spettro limitato, le configurazioni compatibili con la conservazione di energia e quantità di moto sono poche.
In termini tecnici, la densità di stati finali è ridotta.
\[ \rho(E) \ \text{è piccolo} \]
Pertanto, lo spazio delle fasi è limitato.
La Regola d’Oro di Fermi dice:
\[ \Gamma \propto |\mathcal{M}|^2 \rho(E) \]
Nel decadimento beta l’interazione è debole, quindi \( |\mathcal{M}|^2 \) è piccolo
Poiché anche lo spazio delle fasi è limitato \( \rho(E) \) è piccolo, il prodotto dei due fattori è molto piccolo.
Questo vuol dire che la probabilità per unità di tempo che avvenga il processo è bassa, ossia il processo è raro.
Di conseguenza, la vita media del neutrone è più lunga rispetto ai processi forti o elettromagnetici.
Nota. I risultati sperimentali confermano la previsione. La vita media del neutrone libero è \( \tau \approx 880 \ \text{s} \), quasi 15 minuti. Per fare un confronto, un decadimento forte avviene in \(10^{-23} \) s e un decadimento elettromagnetico in \( 10^{-16} \)... la differenza è enorme.
In conclusione, il neutrone decade lentamente non solo perché l’interazione è debole, ma anche perché l'energia disponibile è piccola e ci sono poche configurazioni finali possibili (spazio delle fasi ridotto).
Questo esempio mostra in modo concreto come la Regola d’Oro di Fermi combini dinamica e cinematica.
E così via.
