Operatore di inversione temporale
L’operatore di inversione temporale (T) descrive la trasformazione che inverte il verso del tempo in un processo fisico.
In altre parole, applicare T significa considerare l’evoluzione di un sistema come se il tempo scorresse all’indietro, analogamente a premere il tasto rewind su un videoregistratore.
In forma simbolica, l’inversione temporale corrisponde alla trasformazione
$$ t \rightarrow -t $$
Questa operazione non è una semplice inversione cinematica, ma una trasformazione di simmetria delle leggi fisiche.
Se il processo visto in rewind è fisicamente possibile e obbedisce alle stesse leggi del processo originale, ossia è fisicamente equivalente, allora si dice che la teoria è invariante per inversione temporale, ovvero che la simmetria T è conservata.
Nota. Dal punto di vista intuitivo, se si riprende un fenomeno fisico con una videocamera e si manda il filmato al contrario, il processo dovrebbe risultare comunque compatibile con le leggi della fisica. Ad esempio, un urto elastico tra due palle da biliardo è descritto dalle stesse leggi sia in avanti sia all’indietro nel tempo. Se il filmato dell’urto viene proiettato al contrario, il processo resta compatibile con le equazioni del moto e con le stesse probabilità. Nell’urto, le forze di contatto tra le due palle sono sempre uguali e opposte: $$ \vec F_1 = - \vec F_2 $$ La forza esercitata dalla prima palla sulla seconda è uguale in modulo e opposta in verso a quella esercitata dalla seconda sulla prima. Questa relazione vale istante per istante durante l’urto ed è indipendente dal verso del tempo. Pertanto, anche nel processo invertito temporalmente, in cui le velocità delle due palle sono invertite, continua a valere la relazione $$ \vec F_1 = - \vec F_2 $$ Questo è un esempio di sistema in cui la simmetria di inversione temporale T è conservata.
Dire che una teoria è invariante per inversione temporale significa che, se un processo fisico è possibile, allora il processo ottenuto applicando l’operatore T è fisicamente equivalente, in particolare ha la stessa probabilità ed è descritto dalle stesse leggi fondamentali.
Viceversa, se il processo ottenuto applicando T non è fisicamente equivalente al processo originale, si parla di violazione della simmetria T.
Va specificato che per la conservazione della simmetria di inversione temporale T non è sufficiente che il processo osservato in rewind sia fisicamente possibile, è necessario che esso sia "fisicamente equivalente al processo originale", cioè che sia descritto dalle stesse leggi dinamiche e, in particolare, che avvenga con la stessa probabilità a parità di condizioni trasformate sotto T.
Un esempio pratico
Considero un punto materiale che si muove lungo l’asse \( x \).
La sua legge oraria è
$$ x(t) = vt $$
Dove \( v \) è una velocità costante.
Quando applico l’operatore di inversione temporale, l’operatore T inverte il tempo:
$$ t \rightarrow -t $$
Applicando T alla legge del moto ottengo
$$ x(-t) = v(-t) = -vt $$
Questa è la traiettoria invertita nel tempo.
Nel moto originale al tempo \( t > 0 \) il punto si muove verso destra con velocità \( +v \).
Nel moto trasformato da T, al tempo \( t > 0 \) il punto si muove verso sinistra con velocità \( -v \).
Il moto "al contrario nel tempo" è ancora un processo fisico possibile, quindi le leggi non distinguono tra passato e futuro. La simmetria di inversione temporale T è conservata.
Questo significa che la meccanica classica è invariante per inversione temporale.
Esempio 2
Questo è un esempio classico di violazione della simmetria di inversione temporale T.
Considero i kaoni neutri, la particella \( K^0 \) e l'antiparticella \( \overline{K}^0 \).
Queste particelle possono trasformarsi l’una nell’altra tramite l’interazione debole:
$$ K^0 \longleftrightarrow \overline{K}^0 $$
Questo fenomeno si chiama mixing.
Definisco i due processi:
- $ K^0 \rightarrow \overline{K}^0 $
- $ \overline{K}^0 \rightarrow K^0 $
Se la simmetria T fosse esatta, allora la probabilità del processo 1 dovrebbe essere uguale a quella del processo 2, a parità di condizioni iniziali e finali trasformate sotto T.
Tuttavia, gli esperimenti mostrano che queste due probabilità non sono uguali.
$$ P(K^0 \rightarrow \overline{K}^0) \neq P(\overline{K}^0 \rightarrow K^0) $$
Questa asimmetria temporale è una violazione diretta della simmetria T.
Qui non si tratta di un’interpretazione indiretta tramite CP o TCP, ma di una misura sperimentale diretta del fatto che il processo "al contrario nel tempo" non è equivalente.
In conclusione, il "film" del processo di oscillazione tra \( K^0 \) e \( \overline{K}^0 \), se proiettato al contrario, non descrive lo stesso fenomeno fisico.
Quindi, la simmetria di inversione temporale T viene violata.
Conservazione e violazione della simmetria T
In fisica alcuni processi sono invarianti rispetto a T, mentre altri no.
- Nella meccanica classica, molte leggi sono invarianti per inversione temporale.
- Nelle interazioni forte ed elettromagnetica, non si osservano violazioni della simmetria T.
- Nell’interazione debole, la simmetria di inversione temporale è violata.
Quindi, nella fisica delle particelle, l’operatore di inversione temporale T è conservato nelle interazioni forte ed elettromagnetica, nelle quali non si osservano violazioni di T, mentre è violato nell’interazione debole.
Questa violazione non è solo sperimentale, ma anche concettualmente necessaria a causa del teorema TCP.
Il teorema TCP afferma che la trasformazione combinata dell'inversione temporale (T), della coniugazione di carica (C) e della parità (P) è una simmetria esatta di ogni teoria quantistica dei campi relativistica.
In forma compatta si scrive spesso:
$$ TCP = 1 $$
Nel senso che l’operazione combinata lascia invariata la teoria.
$$ T = CP^{-1} $$
Questo significa che se in una teoria la simmetria CP è violata, allora anche la simmetria T è violata, e viceversa.
Quindi, poiché la simmetria CP è sperimentalmente violata nell'interazione debole e il teorema TCP impone che TCP sia conservata, la simmetria di inversione temporale T deve necessariamente essere violata.
Nota. In meccanica quantistica, l’operatore di inversione temporale T è un operatore antiunitario. Questo significa che oltre a trasformare gli operatori fisici, non agisce come una semplice matrice, a differenza degli operatori di parità P e di coniugazione di carica C. Di conseguenza, nessuna particella è autostato di T, mentre molte particelle sono autostati di P o C. Quindi, l'inversione temporale T non ammette autostati fisici.
In generale, l’operatore di inversione temporale permette di distinguere tra processi reversibili e irreversibili, individuare una freccia del tempo nelle interazioni fondamentali e collegare la violazione di simmetrie discrete a principi profondi della teoria quantistica dei campi.
In questo senso, T non è solo un’operazione matematica, ma uno strumento essenziale per comprendere il ruolo del tempo nelle leggi fondamentali della natura.
E così via.
