Le particelle con spin 1/2

In una particella con spin \( \tfrac{1}{2} \), lo spin non è un’etichetta assoluta, ma una proprietà che cambia aspetto a seconda dell’asse lungo cui lo si osserva, perché lo stato quantistico non è un valore fisso ma una combinazione lineare dei due stati fondamentali, rappresentata dallo spinore \( (\alpha,\ \beta) \). $$ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Dove $ \alpha $ e $ \beta $ sono i pesi degli stati quantici "up" e "down".

In altre parole, lo spin “up” lungo l’asse \( z \) non equivale allo spin “up” lungo gli assi \( x \) o \( y \).

Le probabilità dei risultati dipendono dai moduli dei coefficienti dello spinore e valgono soltanto rispetto all’asse in cui lo stato è espresso.

Quindi, cambiando l’asse di misura bisogna quindi riscrivere lo stato in una nuova base, ottenendo coefficienti diversi e dunque probabilità diverse.

È proprio per questo che una particella preparata “up” lungo \( z \) può dare metà “up” e metà “down” lungo \( x \).

La spiegazione

Una particella con spin \( \tfrac{1}{2} \) (es. neutroni, protoni, elettroni, ecc. ) può avere due valori possibili per il numero quantico \( m_s \):

• \( m_s = \tfrac{1}{2} \quad \text{(spin up)}  \)
• \( m_s = -\tfrac{1}{2} \quad \text{(spin down)} \)

Tuttavia, la particella con spin \( \tfrac{1}{2} \) può orientarsi in qualsiasi direzione nello spazio.

Il suo vero stato quantistico non è limitato ai soli stati up e down, ma è descritto da una combinazione lineare di entrambi rappresentata da una coppia di numeri complessi.

$$ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1
\end{pmatrix} $$

La rappresentazione mediante vettori colonna a due componenti è detta spinore, ed è la descrizione standard degli stati di una particella con spin 1/2.

Nota. I due spinori fondamentali rappresentano gli stati di spin lungo l’asse \( z \) $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left| \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right\rangle $$ $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \left| \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \right\rangle $$ Applicando l’operatore di spin lungo \( z \) $$ S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ si ottengono i valori fisici della misura: $$ S_z \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = +\tfrac{1}{2}\hbar $$ $$ S_z \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\hbar $$ Quindi gli spinori codificano lo stato quantistico, mentre \( S_z \) restituisce i due valori possibili del momento angolare: $ +\tfrac{1}{2}\hbar $ e $ -\tfrac{1}{2}\hbar $.

Quindi, i due coefficienti \( \alpha \) e \( \beta \) non rappresentano semplicemente "up" e "down". Sono invece i pesi di una sovrapposizione degli stati fondamentali lungo l’asse \( z \).

Il significato probabilistico è diretto:

• \( |\alpha|^2 \) è la probabilità di ottenere spin up lungo l’asse \( z \)
• \( |\beta|^2 \) è la probabilità di ottenere spin down lungo l’asse \( z \)

Poiché queste sono le uniche due possibilità, deve valere la condizione di normalizzazione: la somma delle probabilità deve essere uguale a 1.

$$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $$

Ma cosa succede se non misuro lungo l'asse z, ma lungo x?

Gli stati "up" e "down" lungo l’asse \( x \) non coincidono con quelli lungo \( z \).

Per sapere cosa accade quando misuro \( S_x \), devo riscrivere lo stato \( (\alpha,\ \beta) \) nella base degli autovettori di \( S_x \).

Questo porta a un semplice cambio di base, che introduce due nuovi coefficienti:

$$ a = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}} $$

Questi due numeri esprimono lo stato della particella in termini di spin up-x e spin down-x.

Il significato di \( a \) e \( b \) è analogo a quello di \( \alpha \) e \( \beta \) per l’asse \( z \):

• \( |a|^2 \) è la probabilità di misurare "spin up" lungo l’asse \( x \)
• \( |b|^2 \) è la probabilità di misurare "spin down" lungo l’asse \( x \)

Questo accade perché gli stati lungo \( x \) sono associati a combinazioni precise degli stati up/down lungo l'asse \( z \).

Ad esempio, prendo la particella nello stato "spin up" lungo \( z \):

$$ (\alpha,\ \beta) = (1,0) $$

Calcolo i coefficienti del cambio di base:

$$ a = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}} = \frac{1+0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}} = \frac{1-0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Ora le probabilità sono:

$$ |a|^2 = \frac{1}{2} $$

$$ |b|^2 = \frac{1}{2} $$

Quindi, anche se la particella è "up" lungo \( z \), una misura lungo \( x \) darà:

• 50% spin up-x
• 50% spin down-x

Questo dato è confermato da tutti gli esperimenti di Stern - Gerlach.

In altre parole, lo spin "up" lungo un asse non equivale necessariamente allo spin "up" lungo un altro asse.

Per capirlo è necessario ricostruire le probabilità tramite i coefficienti \( a \) e \( b \).

Infatti, i tre operatori di spin \( S_x  \), \( S_y  \), \( S_z  \) hanno autovettori diversi.

$$
\hat S_x = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} $$

$$ \hat S_y = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} $$

$$ \hat S_z = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} $$

Nota.  Nello spin \( \tfrac{1}{2} \) una rotazione di \( 360^\circ \) non restituisce lo stesso stato quantistico ma il suo opposto: \[ U(2\pi)\,|\psi\rangle = -|\psi\rangle \] Si tratta di una proprietà caratteristica delle particelle con spin \( \tfrac{1}{2} \): la direzione fisica dello spin non cambia, ma lo spinore che la rappresenta ha il segno opposto. Per tornare esattamente allo stesso stato quantistico iniziale è necessaria una rotazione di \( 720^\circ \) ossia una doppia rotazione. Dal punto di vista matematico, serve una rappresentazione 2×2 delle rotazioni tale che: \[ U(2\pi) = -I \] dove \( I \) è la matrice identità e \( U \) è l'operatore quantistico della rotazione. Questa condizione limita moltissimo la forma delle matrici, perché obbliga a usare il gruppo SU(2), non SO(3). Gli elementi 2×2 che generano tali rotazioni sono le matrici di Pauli. Le uniche tre matrici 2×2 che soddisfano le condizioni necessarie (traccia zero, determinante -1, anticommutazione, commutatori esatti delle rotazioni, autovalori ±1) sono le matrici di Pauli, convenzionalmente indicate dalla lettera $ \sigma $, che sono le seguenti: $$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Ad esempio, considero uno spinore qualunque: \[ \psi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix} \] Lo moltiplico per la matrice \( -I = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) per ottenere l'effetto dopo una rotazione di 360°. \[ (-I)\psi = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.6 \\ -0.8 \end{pmatrix}. \] Quindi il nuovo spinore è nella stessa direzione ma nel verso opposto: \[ \psi' = -\psi \] Fisicamente non è cambiato nulla, perché le probabilità dipendono da \( |\alpha|^2 \) e \( |\beta|^2 \): Prima erano $$ |0.6|^2 = 0.36 $$ $$ |0.8|^2 = 0.64 $$ Poi sono diventate $$ |-0.6|^2 = 0.36 $$ $$ |-0.8|^2 = 0.64 $$ Quindi, le probabilità sono sempre le stesse.

Questo significa che uno stato $ \begin{pmatrix}1 \ 0\end{pmatrix} $ che è "spin up" lungo \( z \), non è un autostato né di \( \hat S_x \) né di \( \hat S_y  \).

Per una misura lungo \( x \), lo stesso stato deve essere riscritto come combinazione lineare degli autovettori di \( \hat S_x \), e le probabilità dei due risultati \( \pm \tfrac{1}{2}\hbar \) cambiano di conseguenza.

Pertanto, ogni asse ha i suoi stati up e down e non coincidono con quelli di un altro asse.

Per questo le misure di spin lungo direzioni diverse danno risultati diversi, anche partendo dallo stesso spinore.

Gli autovettori di Sx e il cambio di base nello spin 1/2

Qualsiasi spinore \( (\alpha,\beta) \) può essere scritto come somma di due particolari vettori: gli autovettori dell'operatore $ S_x $.

$$ \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $$

Dove gli autovettori sono:

• $ \begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $
• $ \begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $ 

Mentre $ a $ e $ b $ sono:

• $ a = \dfrac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}} $
• $ b = \dfrac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}} $

E così via.