Coniugazione di carica

La coniugazione di carica è l’operazione che sostituisce ogni particella con la sua antiparticella, invertendo tutti i numeri quantici additivi legati alla carica.

In altre parole, la coniugazione di carica è una trasformazione molto semplice: si prende una particella e la si sostituisce con la sua antiparticella. Ad esempio:

un elettrone $ e^- $ diventa un positrone $ e^+ $
un protone $ p $ diventa un antiprotone $ \bar p $
un pione positivo $ \pi^+ $ diventa un pione negativo $ \pi^- $

Questa operazione si indica con la lettera C.

Nota. Il termine "carica" può essere fuorviante. La coniugazione di carica non si applica soltanto alle particelle elettricamente cariche, ma a tutte le particelle. Infatti, agisce su tutti i numeri quantici interni additivi cambiandogli segno, come la carica elettrica, il numero barionico e il numero leptonico, lasciando invariato lo spin, la massa, l'energia e la quantità di moto. Per questo motivo può essere applicata anche a particelle neutre. Ad esempio, la coniugazione di carica di un neutrone $ n $ è un antineutrone $ \bar n $.

A cosa serve?

La coniugazione di carica C è una simmetria che si conserva nelle interazioni elettromagnetiche e forti.

Questo permette di stabilire quali reazioni e decadimenti sono consentiti e quali invece sono proibiti in natura.

Come si vedrà, tuttavia, questa simmetria da sola è applicabile solo a poche particelle, ed è inoltre violata nell’interazione debole. Per superare queste limitazioni si utilizza nella G-parità.

Le proprietà della coniugazione di carica
G-parità

Le proprietà della coniugazione di carica

La coniugazione di carica è un numero quantico moltiplicativo, a differenza dei numeri quantici additivi come la carica elettrica o il numero barionico, perché i suoi valori non si sommano ma si moltiplicano quando si considerano sistemi composti

Come accade per la parità $ P $, anche la coniugazione di carica $ C $ è un numero quantico che si conserva con l'interazione forte ed elettromagnetica.

Inoltre, se viene applicata due volte restituisce lo stato originale della particella.

$$ C \cdot C = C^2 = I $$

Dove $ I $ è l'identità ossia la particella nello stato iniziale, prima dell'operazione C.

Se applicando C ottengo una particella diversa, allora C non posso considerarlo un numero quantico, perché non sto “misurando” una proprietà di una particella, sto cambiando particella.

Per questo motivo solo le particelle che coincidono con la propria antiparticella possono essere autostati di C e quindi avere un valore C ben definito.

In quel caso l’operazione non cambia il tipo di particella, ma al più introduce un segno globale ±1, che diventa il valore del numero quantico.

Ad esempio, il fotone, il pione neutro o certi mesoni neutri hanno una C-parità ben definita, mentre un elettrone o un pione carico non ce l'hanno. La coniugazione di carica del fotone $ \gamma $ restituisce ancora il fotone $ \gamma $. Lo stesso vale per un pione neutro $ \pi^0 $, la sua coniugazione carica è sempre $ \pi^0 $, cioé la stessa particella.

Il numero di coniugazione di carica del fotone è -1 perché il campo elettromagnetico cambia segno sotto la coniugazione di carica, anche se la particella rimane la stessa.

Il numero di coniugazione di carica del pione neutro $ \pi^0 $, invece, è +1.

Particella	Simbolo	Antiparticella	Autostato di C	Valore di Cmentre u
Fotone	γ	γ	Sì	-1
Pione neutro	π⁰	π⁰	Sì	+1
Eta	η	η	Sì	+1
Eta primo	η′	η′	Sì	+1
Rho neutro	ρ⁰	ρ⁰	Sì	-1
Omega	ω	ω	Sì	-1
Phi	φ	φ	Sì	-1
J/ψ	ψ	ψ	Sì	-1
Pione positivo	π⁺	π⁻	No	non definito
Elettrone	e⁻	e⁺	No	non definito
Muone	μ⁻	μ⁺	No	non definito
Protone	p	p̄	No	non definito
Neutrone	n	n̄	No	non definito
Neutrino	ν	ν̄	No	non definito

Quando una particella ha $ C = +1$, resta invariata sotto la coniugazione di carica. Quando ha $ C = -1 $ la particella resta la stessa ma lo stato quantistico cambia segno. Questa informazione è molto utile perché determina quali reazioni e decadimenti sono consentiti o proibiti, poiché nei decadimenti elettromagnetici e forti il valore di $ C $ deve conservarsi.

I sistemi composti da un quark e un antiquark, come i mesoni neutri, formano un autostato della coniugazione di carica C con autovalore

$$ C = (-1)^{l+s} $$

Dove $ l $ è il momento angolare orbitale e $ s $ è lo spin totale.

Ad esempio, i mesoni pseudoscalari con $ l = 0 $ e $ s = 0 $, hanno un valore $ C=+1 $

\[ C = (-1)^{0+0} = +1 \]

I mesoni vettoriali con $ l = 0 $ e $ s = 1 $, hanno un valore $ C=-1 $

\[ C = (-1)^{0+1} = -1 \]

Nota. E' utile ricordare che la coniugazione di carica è ben definita solo per i mesoni neutri che coincidono con la propria antiparticella e non per tutti i mesoni. Questo chiarisce perché $ C $ non sia un numero quantico universale per tutti i mesoni, ma solo per una classe ben precisa di questi.

Un esempio pratico

Un pione neutro decade in due fotoni sotto l'interazione elettromagnetica.

$$ \pi^0 \to \gamma + \gamma $$

Poiché la conservazione di coniugazione di carica C si conserva nelle interazioni elettromagnetiche, il valore del numero quantico C deve essere lo stesso prima e dopo il decadimento:

$$ \underbrace{ \pi^0 }_{C=+1} \to \underbrace{ \gamma + \gamma }_{C=+1} $$

Sapendo che ogni fotone ha una coniugazione di carica $ C=-1 $

$$ \underbrace{ \pi^0 }_{C=+1} \to \underbrace{ \gamma + \gamma }_{C=(-1) \cdot (-1) =+1} $$

Il decadimento è quindi consentito, perché rispetta la simmetria di coniugazione di carica.

Viceversa, un decadimento in tre fotoni, che avrebbe $ C=(-1)^3=-1 $, violerebbe la conservazione della coniugazione di carica e non è possibile.

Quali sono i limiti della coniugazione di carica?

Il punto cruciale è capire quando questa operazione C produce qualcosa di fisicamente sensato.

A questo punto però emerge subito un problema fisico serio. La maggior parte delle particelle in natura non è autostato di C.

Inoltre l’interazione debole viola C, e perfino nei processi forti violano la C-parità, presa da sola. Quindi, è una simmetria che ha un’utilità molto limitata perché è applicabile in pochi casi.

Per risolvere questo problema è stata introdotta la G-parità.

G-parità

La G-parità è una simmetria che si ottiene combinando la coniugazione di carica $ C $ con una rotazione di 180° attorno al secondo asse dell'isospin $ I_2 $ $$ G = CR_2 $$ Si conserva solo nell'interazione forte.

La rotazione ha come conseguenza di trasformare l'isospin $ I_3 $ nel suo valore opposto $ -I_3 $.

Se il prodotto con la coniugazione di carica $ C $ (calcolata sull'elemento neutro del multipletto) preceduto dalla rotazione di isospin, restituisce la stessa particella iniziale, allora si è in presenza di un autostato di G.

Questo permette di assegnare un numero quantico che si conserva nelle interazioni forti anche alle particelle che non sono autostati di C.

In questo modo la G-parità diventa una simmetria realmente utile, perché, a differenza della sola $ C $, non è limitata ai soli autostati di coniugazione di carica.

Va specificato che la G-parità è definita e si utilizza solo per i mesoni non strani, cioè privi di quark strange, charm, beauty o top, che partecipano alle interazioni forti.

Non si applica ai barioni, ai leptoni o ai mesoni con stranezza o sapori pesanti.

Pur essendo uno strumento specifico, è molto utile nello studio dei decadimenti forti dei mesoni non strani.

Esempio. Voglio determinare la G-parità del pione carico $ \pi^+ $. Il pione $ \pi^+ $ non è un autostato della coniugazione di carica $ C $, perché la sua antiparticella è diversa ( $ \pi^- $ ). Per questo motivo non ha senso applicare direttamente $ C $ al $ \pi^+ $. È proprio per superare questa difficoltà che si introduce la G-parità. Effettuo una rotazione di 180° attorno al secondo asse dell’isospin $ I_2 $ che inverte il segno di $ I_3 $ passando da $ \pi^+ $ con $I_3=+1 $ a $ \pi^- $ con $ I_3=-1 $ $$ \pi^+ \longrightarrow - \pi^- $$ Ora applico la coniugazione di carica $ C $ del membro neutro $ \pi^0 $, poiché è l’unico del multipletto $ \pi $ che ha una coniugazione di carica ben definita: $$ C(\pi^0) = +1 $$ L’azione di $ C $ scambia i pioni carichi, ossia $ \pi^- $ con $ \pi^+ $: $$ \pi^- \longrightarrow \pi^+ $$ Combinando i due passaggi: $$ \pi^+ \xrightarrow{R_2} -\pi^- \xrightarrow{C} -\pi^+ $$ Il risultato finale è: la stessa particella iniziale ( $ \pi^+ $ ) moltiplicata per -1. Questo significa che il pione $ \pi^+ $ è un autostato della G-parità con autovalore -1: \[ G(\pi^+) = -1 \] Poiché la G-parità è una simmetria delle interazioni forti, tutti i pioni $( \pi^+,\pi^0,\pi^- )$ condividono lo stesso valore: \[ G = -1 \]

In generale, per calcolare la G-parità si usa la formula

\[ G = (-1)^I C \]

Dove $ I $ è l'isospin e $ C $ è il valore della coniugazione di carica del membro neutro del multipletto.mentre u

Questa formula assume una forma sorprendentemente semplice negli stati composti solo da pioni perché ogni pione ha isospin $ I =1 $ e la G-parità è un numero quantico moltiplicativo. Di conseguenza, il fattore $ (-1) $ si moltiplica per sé stesso tante volte quanti sono i pioni ossia $ G = (-1)^n $ dove $ n $ è il numero dei pioni:

Uno stato con un numero dispari $ n $ di pioni ha G = -1
Uno stato con un numero pari $ n $ di pioni ha G = +1

Questa regola non richiede alcun calcolo dinamico ed è estremamente utile.

Esempio 1
Il mesone $ \rho $ ha isospin $ I=1 $ e coniugazione di carica $ C=-1 $. Di conseguenza, la sua G-parità vale: \[ G = (-1)^I \cdot C = (-1)^1 \cdot (-1) = +1 \] Questo significa che il mesone $ \rho $ può decadere in uno stato con due pioni, che ha $ G=+1 $, ma non può decadere in uno stato con tre pioni, che avrebbe $ G=-1 $. Un decadimento consentito è quindi: \[ \underbrace{ \rho }_{G=+1} \rightarrow \underbrace{ \pi^+ + \pi^- }_{G=(-1) \cdot (-1) = +1} \] Un decadimento in tre pioni, invece, è proibito dalle regole di selezione imposte dalla G-parità nell'interazione forte. Al contrario, mesoni come ω o φ che hanno G = -1 e decadono naturalmente in tre pioni, mentre il decadimento in due pioni è proibito dall’interazione forte. Non c’è bisogno di scrivere lagrangiane o diagrammi: la simmetria da sola decide.

Esempio 2
Il mesone $ \omega $ ha isospin $ I=0 $ e coniugazione di carica $ C=-1 $, quindi ha una G-parità pari a $ G=-1 $: \[ G(\omega)=(-1)^I \cdot C = (-1)^0 \cdot (-1) = -1 \] In questo caso, un decadimento consentito è quello in tre pioni, perché ha $ G=-1 $: \[ \underbrace{\omega}_{G=-1} \longrightarrow \underbrace{\pi^+ + \pi^- + \pi^0}_{G=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1} \] Questo decadimento è quindi permesso. Viceversa, un decadimento del mesone $ \omega $ in due pioni, che avrebbe $ G=+1 $, è vietato dalla conservazione della G-parità nelle interazioni forti.

Ecco un elenco delle G-parità delle principali particelle

Particella	Simbolo	Isospin I	C (membro neutro)	G-parità	Note
Pioni	π⁺, π⁰, π^-	1	+1	-1
Rho	ρ	1	-1	+1
Omega	ω	0	-1	-1
Eta	η	0	+1	+1
Stato a due pioni	ππ	-	-	+1	G = (-1)²
Stato a tre pioni	πππ	-	-	-1	G = (-1)³

Alla fine, il senso profondo è questo: la G-parità non è una complicazione teorica, ma un modo elegante per estendere l’idea di coniugazione di carica a sistemi fisici realistici, sfruttando la struttura interna delle particelle.

Serve a rispondere a una domanda molto concreta: quanti pioni possono uscire da un decadimento forte usando solo simmetrie, senza entrare nei dettagli microscopici.

E così via.

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