Simmetrie in fisica
In fisica, una simmetria è una trasformazione che lascia invariata una legge fisica.
Ogni simmetria corrisponde a una invarianza, cioè qualcosa che non cambia quando si compie una certa trasformazione.
Secondo il teorema di Noether, a ogni simmetria continua corrisponde una quantità conservata:
- Simmetria nel tempo
La simmetria nel tempo implica la conservazione dell’energia. - Simmetria nello spazio
La simmetria nello spazio comporta la conservazione del momento lineare. - Simmetria di rotazione
La simmetria di rotazione determina la conservazione del momento angolare.
Ad esempio, ruotare un sistema meccanico nello spazio non cambia le leggi del moto: in questo caso si verifica una simmetria rotazionale.
Altri esempi pratici. Spostare un esperimento nel tempo non modifica i risultati, il che corrisponde a una simmetria temporale. Scambiare due particelle identiche senza che la situazione fisica cambi rappresenta invece una simmetria di permutazione. E via dicendo.
Gruppi: la struttura matematica della simmetria
Le simmetrie si possono combinare: fare due trasformazioni di seguito equivale a un’unica trasformazione.
Matematicamente, l’insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo.
Nell'algebra astratta un gruppo è un insieme con un’operazione, in questo caso una composizione di trasformazioni, che soddisfa quattro proprietà:
- Chiusura: combinare due trasformazioni dà un’altra trasformazione dello stesso tipo.
- Associatività: l’ordine di combinazione non conta, purché resti lo stesso.
- Elemento neutro: esiste una trasformazione che non cambia nulla (identità).
- Elemento inverso: ogni trasformazione può essere “annullata” da un’altra.
Ad esempio, le rotazioni nello spazio formano il gruppo SO(3), dove la sigla SO sta per Special Orthogonal e indica l’insieme delle matrici ortogonali con determinante uguale a 1.
Le simmetrie interne della fisica delle particelle utilizzano gruppi come SU(2), SU(3) e così via, dove SU sta per Special Unitary e indica l’insieme delle matrici unitarie con determinante uguale a 1.
Altri esempi. Le traslazioni nello spazio-tempo formano un gruppo abeliano. Le rotazioni e boost relativistici formano il gruppo di Lorentz. E via dicendo.
Per lavorare con questi gruppi, i fisici li rappresentano con le matrici.
Questo permette di tradurre le trasformazioni astratte in operazioni lineari su vettori.
Ad esempio, una rotazione nello spazio tridimensionale si rappresenta con una matrice ortogonale 3×3 che ruota un vettore.
Altri esempi. Le trasformazioni di Lorentz si rappresentano con matrici 4×4 che agiscono sui quadrivettori spazio-temporali. Le simmetrie di isospin o di colore (nella fisica delle particelle) si rappresentano con matrici unitarie dei gruppi SU(2) o SU(3) ecc.
Queste matrici obbediscono alle stesse regole del gruppo: moltiplicare due matrici equivale a fare due trasformazioni una dopo l’altra.
Per questa ragione spesso in fisica si parla di gruppi di matrici.
| Concetto fisico | Struttura matematica | Rappresentazione |
|---|---|---|
| Simmetria di una legge fisica | Gruppo di trasformazioni | Matrici che agiscono su vettori |
| Invarianza (ciò che non cambia) | Proprietà del gruppo | Quantità conservata (Noether) |
| Trasformazione fisica (rotazione, inversione, ecc.) | Elemento del gruppo | Matrice corrispondente |
Un esempio concreto
Considero una particella libera nello spazio tridimensionale.
Le sue leggi di moto non cambiano se ruoto il sistema di riferimento.
Le rotazioni formano il gruppo SO(3). Quindi, ogni rotazione può essere rappresentata da una matrice ortogonale 3×3 che agisce sul vettore posizione $ \vec{r} = (x, y, z) $ della particella.
$$
R(\hat{r}, \theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta + r_x^2(1 - \cos\theta) & r_x r_y(1 - \cos\theta) - r_z \sin\theta & r_x r_z(1 - \cos\theta) + r_y \sin\theta \\[6pt]
r_y r_x(1 - \cos\theta) + r_z \sin\theta & \cos\theta + r_y^2(1 - \cos\theta) & r_y r_z(1 - \cos\theta) - r_x \sin\theta \\[6pt]
r_z r_x(1 - \cos\theta) - r_y \sin\theta & r_z r_y(1 - \cos\theta) + r_x \sin\theta & \cos\theta + r_z^2(1 - \cos\theta)
\end{pmatrix}.
$$
La conservazione del momento angolare nasce da questa simmetria.
$$ R_z(90^\circ)= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & \phantom{-}0 & 0\\ 0 & \phantom{-}0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Inizialmente, la posizione della particella \( \mathbf r=(2,\,1,\,0) \). Questo è il vettore posizione della particella.
Applico la rotazione al vettore:
$$ \mathbf r' = R_z\,\mathbf r = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\[2pt] 1\\[2pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\[2pt] 2\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
Dopo la rotazione la posizione della particella è \( \mathbf r=(-1,\,2,\,0) \).
La lunghezza del vettore posizione è preservata, come deve accadere per una matrice ortogonale:
$$ \|\mathbf r\|^2 = 2^2+1^2+0^2 = 5, \qquad \|\mathbf r'\|^2 = (-1)^2+2^2+0^2 = 5. $$
Ora considero anche la quantità di moto \( \mathbf p=(0,\,3,\,0) \). Ruoto anche \( \mathbf p \):
$$ \mathbf p' = R_z\,\mathbf p = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 3\\[2pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\[2pt] 0\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
Calcolo il momento angolare prima della rotazione \( \mathbf L=\mathbf r\times \mathbf p \) tramite il prodotto vettoriale:
$$
\mathbf L =
\begin{pmatrix} 2\\[2pt] 1\\[2pt] 0 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0\\[2pt] 3\\[2pt] 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
y p_z - z p_y\\[2pt]
z p_x - x p_z\\[2pt]
x p_y - y p_x
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1\cdot0 - 0\cdot3\\[2pt]
0\cdot0 - 2\cdot0\\[2pt]
2\cdot3 - 1\cdot0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}.
$$
Calcolo il momento angolare dopo la rotazione \( \mathbf L'=\mathbf r'\times \mathbf p' \):
$$\mathbf L' =
\begin{pmatrix} -1\\[2pt] 2\\[2pt] 0 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} -3\\[2pt] 0\\[2pt] 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
y' p'_z - z' p'_y\\[2pt]
z' p'_x - x' p'_z\\[2pt]
x' p'_y - y' p'_x
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2\cdot0 - 0\cdot0\\[2pt]
0\cdot(-3) - (-1)\cdot0\\[2pt]
(-1)\cdot0 - 2\cdot(-3)
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}
$$ Come si può vedere, il momento angolare è sempre lo stesso prima e dopo la rotazione.
$$ \mathbf L = \mathbf L' = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix} $$
Il risultato mostra due fatti chiave. Primo, la rotazione è rappresentata da una matrice ortogonale \(3\times 3\) che preserva le lunghezze. Secondo, se il sistema fisico è invariante per rotazioni, il momento angolare rimane costante. In questo esempio numerico si vede che \( \mathbf L \) non cambia quando ruoto simultaneamente \( \mathbf r \) e \( \mathbf p \) con la stessa trasformazione di \(SO(3)\).
E così via.
