Il momento angolare delle particelle
In meccanica quantistica il momento angolare di una particella esprime come il suo stato quantistico si trasforma sotto le rotazioni dello spazio, cioè in che modo la funzione d’onda possiede e manifesta carattere rotazionale.
Esistono due forme distinte di momento angolare:
- Momento angolare orbitale $ L $
È legato alla struttura angolare della funzione d’onda nello spazio. Non descrive una particella che orbita come un pianeta, ma la simmetria della sua distribuzione di probabilità. La quantizzazione di $ L $ riflette le rotazioni del sistema nel normale spazio tridimensionale. - Momento angolare intrinseco (spin) $ S $
Lo spin è una proprietà interna della particella e non corrisponde a una rotazione nello spazio reale. Si tratta di una forma puramente quantistica di momento angolare, descritta matematicamente dalle trasformazioni del gruppo SU(2), e non possiede alcun equivalente nella fisica classica.
Nota. Un errore comune è considerare lo spin come una semplice rotazione della particella attorno al proprio asse. In realtà lo spin non è un moto meccanico nello spazio, ma una proprietà quantistica intrinseca della particella. Non esiste un “punto materiale che ruota fisicamente”, né un’analogia classica esatta. Lo spin produce effetti reali, come il momento magnetico e la scissione dei livelli energetici, ma non corrisponde ad alcuna geometria o struttura orbitale nello spazio tridimensionale, a differenza del momento angolare orbitale $ L $. E' importante sottolinearlo.
Il momento angolare orbitale
Nella fisica classica, quando è noto il vettore del momento angolare $ \vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} $, è sempre possibile scomporlo nelle sue tre componenti cartesiane $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $.
$$ \vec{L} = (L_x,\,L_y,\,L_z) $$
Le tre componenti $ L_x, L_y, L_z $ rappresentano le proiezioni del vettore $ \vec{L} $ del momento angolare lungo i tre assi cartesiani $ x, y, z $.
In meccanica quantistica questa scomposizione non è invece simultaneamente possibile, perché la misura di una componente, ad esempio $ L_x $, altera inevitabilmente i valori misurabili delle altre due, $ L_y $ e $ L_z $, impedendo di determinarle tutte con precisione allo stesso tempo.
Quindi, non è possibile determinare simultaneamente tutte le componenti del momento angolare di una particella.
Per questo motivo, è possibile ottenere sperimentalmente solo una singola proiezione del momento angolare lungo un asse cartesiano. Per convenzione, si sceglie l’asse $ z $, e quindi si misura la componente $ L_z $.
Oltre alla sua componente $ L_z $ si può misurare il modulo (magnitudine) $ L $ del vettore $ \vec{L} $ che è pari a
$$ L = \sqrt{ l(l+1) } \hbar $$
Dove \( l \) è un numero quantico intero non negativo \( l = 0,1,2,3,\dots \) mentre $ \hbar $ è la costante di Planck ridotta che quantizza l’azione e stabilisce la “granularità” del mondo quantistico.
Nota. Il termine $ \hbar $ si chiama acca tagliata (in inglese h-bar) ed è un simbolo fondamentale della meccanica quantistica: $$ \hbar = \frac{h}{2\pi} $$ dove $h $ è la costante di Planck e $ \hbar $ è la costante di Planck ridotta. In pratica, $ \hbar $ è solo la costante di Planck divisa per $ 2\pi $. Il suo valore è: $$ \hbar \approx 1.054 \times 10^{-34} , \text{J·s} $$ E' usata molto spesso nelle formule quantistiche perché semplifica i calcoli e rende le equazioni più compatte. Per questo appare in tutte le relazioni fondamentali della meccanica quantistica.
Dalla relazione $ L = \sqrt{ l(l+1) } \hbar $ si deduce che il modulo del momento angolare può assumere soltanto valori discreti, e non continui.
Ciò significa che il modulo $ ∣ \vec{L} ∣ $ non varia in modo continuo ma “a gradini”, seguendo i valori quantizzati fissati dal numero quantico $ l $.
| \(l\) | \(|\vec{L}|=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar\) | Valore |
|---|---|---|
| 0 | \(\sqrt{0\cdot 1}\,\hbar\) | \(0\) |
| 1 | \(\sqrt{1\cdot 2}\,\hbar\) | \(\sqrt{2}\,\hbar\) |
| 2 | \(\sqrt{2\cdot 3}\,\hbar\) | \(\sqrt{6}\,\hbar\) |
| 3 | \(\sqrt{3\cdot 4}\,\hbar\) | \(\sqrt{12}\,\hbar\) |
| 4 | \(\sqrt{4\cdot 5}\,\hbar\) | \(\sqrt{20}\,\hbar\) |
| 5 | \(\sqrt{5\cdot 6}\,\hbar\) | \(\sqrt{30}\,\hbar\) |
Spesso si utilizza il quadrato del modulo $ L^2 $ per semplificare i calcoli.
$$ L^2 = l(l+1)\hbar^2 $$
In questo modo si evita la radice quadrata presente nel modulo \( |\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar \) e diventa più semplice lavorare con le espressioni algebriche, soprattutto nei problemi in cui compaiono operatori o somme di momenti angolari.
| \(l\) | \(L^2 = l(l+1)\hbar^2\) | Valore |
|---|---|---|
| 0 | \(0\cdot 1\,\hbar^2\) | \(0\,\hbar^2\) |
| 1 | \(1\cdot 2\,\hbar^2\) | \(2\,\hbar^2\) |
| 2 | \(2\cdot 3\,\hbar^2\) | \(6\,\hbar^2\) |
| 3 | \(3\cdot 4\,\hbar^2\) | \(12\,\hbar^2\) |
| 4 | \(4\cdot 5\,\hbar^2\) | \(20\,\hbar^2\) |
| 5 | \(5\cdot 6\,\hbar^2\) | \(30\,\hbar^2\) |
In meccanica quantistica, infatti, è l’operatore \( \hat{L}^2 \) ad avere autovalori ben definiti, perciò risulta naturale lavorare direttamente con \( L^2 \) invece che con il modulo \( |\vec{L}| \).
Nota. Questa quantizzazione non ha alcun equivalente nella fisica classica, dove il modulo del momento angolare può assumere qualunque valore reale.
Anche la proiezione del momento angolare orbitale sull’asse $ z $ è quantizzata e vale:
$$ L_z = m_l \hbar $$
Dove $ m_l $ è detto numero quantico magnetico $ m_l $ e può assumere solo valori interi compresi tra $ - l $ e $ l $
$$ m_l = -l, -l+1, ..., -1, 0 , +1, ...., l-1, l $$
Spesso nei libri si utilizza anche la notazione bra - ket per indicare gli stati di spin, nella forma $ | l,\ m_l \rangle $ per indicare i numeri quantici in modo più compatto.
Ecco alcuni valori del numero quantico magnetico $ m_l $
| \(l\) | Valori possibili di \(m_l\) | Valori corrispondenti di \(L_z\) | Numero di stati \((2l+1)\) |
|---|---|---|---|
| 0 | \(0\) | \(0\) | 1 |
| 1 | \(-1,\,0,\,+1\) | \(-\hbar,\,0,\,+\hbar\) | 3 |
| 2 | \(-2,\,-1,\,0,\,+1,\,+2\) | \(-2\hbar,\,-\hbar,\,0,\,+\hbar,\,+2\hbar\) | 5 |
| 3 | \(-3,\,-2,\,-1,\,0,\,+1,\,+2,\,+3\) | \(-3\hbar,\,-2\hbar,\,-\hbar,\,0,\,+\hbar,\,+2\hbar,\,+3\hbar\) | 7 |
Ad esempio, se $ l = 2 $ la proiezione del vettore $ \vec{L} $ sull'asse $ z $ può assumere solo cinque valori: \(-2\hbar,\,-\hbar,\,0,\,+\hbar,\,+2\hbar\).
In questa figura il modulo del momento angolare è fissato da $ |\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)},\hbar $ ed è quindi uguale per tutti i vettori, le frecce hanno tutte la stessa lunghezza e giacciono su una sfera.
La proiezione sull’asse $ z $ può invece assumere solo valori discreti $ L_z = m_l \hbar $ con $ m_l = -2,-1,0,+1,+2 $.
Le cinque frecce rappresentano i possibili vettori $ \vec{L} $ per $ l = 2 $.
Ogni freccia ha la stessa lunghezza (stesso modulo $ |\vec{L}| ) $ ma forma un angolo diverso con l’asse (z), perché deve rispettare $ L_z = m_l \hbar $.
Nota. Dall'esempio deduco anche che quando $ m_l $ è massimo ( $ m_l = l $ ), il vettore non può mai trovarsi perfettamente allineato all’asse $ z $. Infatti, se fosse perfettamente lungo (z), allora avrei $ |\vec{L}| = |L_z| $ ma in realtà $|\vec{L}| = \sqrt{l(l+1)},\hbar > l\hbar = L_z^{\text{max}} $. Quindi, serve sempre una componente residua negli altri assi (una precessione nello spazio).
È importante sottolineare anche che $ L_z $ è una proiezione orientata del momento angolare lungo l’asse $ z $, quindi può assumere valori positivi, negativi oppure nulli.
Per questo motivo $L_z$ non va interpretato come un modulo, ma come una componente del vettore $ \vec{L} $ lungo una direzione specifica. Il modulo di un vettore, infatti, può assumere solo valori positivi.
Il momento angolare di spin
Lo spin è un momento angolare intrinseco della particella.
Non dipende dal moto nello spazio come il momento angolare orbitale, ma è una proprietà quantistica fondamentale della particella, al pari della massa e della carica.
Anche lo spin è descritto da due quantità compatibili tra loro, del tutto analoghe al caso orbitale.
Il modulo del vettore del momento angolare intrinseco è
$$ S = \sqrt{ s(s+1) } \hbar $$
Per semplicità nei calcoli si utilizza spesso il modulo al quadrato:
$$ S^2 = s(s+1) \hbar^2 $$
Dove \( s \) è il numero quantico di spin e può assumere valori interi o seminteri:
$$ s = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, 2, \tfrac52, \ldots $$
La proiezione del vettore di spin $ \vec{S} $ lungo l'asse z è quantizzata e vale:
$$ S_z = m_s \hbar $$
Dove$ m_s $ è il numero quantico magnetico di spin e assume solo i valori discreti \( m_s = -s, -s+1, \ldots, s-1, s \) per un totale di \( 2s+1 \) stati.
Ad esempio, nel caso $ s = \frac{1}{2} $, se $ m_s = + \frac{1}{2} $ si ha lo stato di spin up, mentre se $ m_s = - \frac{1}{2} $ si ha lo stato di spin down.
Spesso nei libri si utilizza anche la notazione a bra - ket per indicare gli stati di spin, nella forma $ | s,\ m_s \rangle $. In questo caso $ \left| \tfrac12,\ +\tfrac12 \right\rangle $ rappresenta lo spin up, mentre $ \left| \tfrac12,\ -\tfrac12 \right\rangle $ rappresenta lo spin down.
Nota. E' evidente un parallelismo tra momento angolare orbitale e spin: il primo è legato al moto nello spazio, il secondo è una proprietà intrinseca, ma entrambi hanno un modulo quantizzato e una sola proiezione misurabile lungo un asse.
Ecco alcuni possibili valori di $ s $ e $ m_s $.
| \( s \) | \( S^2 = s(s+1)\hbar^2 \) | Valori possibili di \( m_s \) | Valori corrispondenti di \( S_z \) | Stati \( 2s+1 \) |
|---|---|---|---|---|
| \( \tfrac12 \) | \( \tfrac34 \hbar^2 \) | \( -\tfrac12, +\tfrac12 \) | \( -\tfrac12\hbar, +\tfrac12\hbar \) | 2 |
| \( 1 \) | \( 2\hbar^2 \) | \( -1, 0, +1 \) | \( -\hbar, 0, +\hbar \) | 3 |
| \( \tfrac32 \) | \( \tfrac{15}{4}\hbar^2 \) | \( -\tfrac32, -\tfrac12, +\tfrac12, +\tfrac32 \) | \( -\tfrac32\hbar, -\tfrac12\hbar, +\tfrac12\hbar, +\tfrac32\hbar \) | 4 |
Matematicamente lo spin obbedisce alla stessa algebra del momento angolare. Tuttavia, fisicamente non è la rotazione di una sfera materiale, è una proprietà quantistica intrinseca che si manifesta attraverso i valori quantizzati di \( S^2 \) e \( S_z \).
Ogni particella può avere un diverso momento angolare orbitale $ l $ mentre il momento angolare di spin $ s $ è fissato dalla natura stessa della particella e non può cambiare.
Ad esempio, ogni protone, neutrone o elettrone ha sempre lo spin $ s= \frac{1}{2} $, tutti i fotoni e i gluoni spin $ s=1 $, ecc.
| Bosoni (spin intero) | Fermioni (spin semi-intero) | ||
|---|---|---|---|
| Spin 0 | Spin 1 | Spin \( \tfrac{1}{2} \) | Spin \( \tfrac{3}{2} \) |
| Mesoni pseudoscalari $ \pi, K, \eta, \eta' $ |
Fotoni ( $ \gamma $ ) Gluoni ( $ g $ ) Bosoni $ W^+, W^-, Z $ Mesoni vettoriali $ \rho, \omega, \phi, K^*, J/\psi, \Upsilon $ |
Quark, leptoni protoni ($ p $), neutroni ( $ n $ ) elettroni ($ e $) Ottetto barionico $ p,\ n , \Sigma^{+},\ \Sigma^{0},\ \Sigma^{-} $ $ \Xi^{0},\ \Xi^{-} , \Lambda^{0} $ |
Decupletto barionico $ \Delta^{++},\ \Delta^{+},\ \Delta^{0},\ \Delta^{-} $ $ \Sigma^{*+},\ \Sigma^{*0},\ \Sigma^{*-} $ $ \Xi^{*0},\ \Xi^{*-} $ $ \Omega^{-} $ |
In generale, le particelle con spin intero sono dette bosoni e seguono la statistica di Bose - Einstein.
Le particelle con spin semintero sono dette fermioni e obbediscono al principio di esclusione di Pauli.
Nota. Per i fermioni gli autostati di spin tornano a coincidere con se stessi solo dopo una rotazione di \( 4\pi \), il che spiega in modo profondo la natura semintera di \( s \) e di \( m_s \).
Un esempio pratico
Considero un elettrone in un orbitale (p), cioè un orbitale con numero quantico orbitale:
$$ l = 1 $$
Per lo stesso elettrone in un orbitale (p) esistono due momenti angolari
- $ L $ è la simmetria della funzione d'onda nello spazio che determina la forma e la struttura rotazionale dell’orbitale
- $ S $ è una proprietà interna che determina lo stato di spin ed è indipendente dalla forma spaziale.
Vediamo le caratteristiche di ciascun momento angolare:
1) Momento angolare orbitale \( \mathbf{L} \)
Per \( l = 1 \), valgono:
$$ L^2 = l(l+1)\hbar^2 = 2\hbar^2 $$
$$ |\mathbf{L}| = \sqrt{2}\,\hbar $$
Dove $ \hbar $ è la costante di Planck ridotta che quantizza l’azione.
Questo significa che la funzione d’onda ha una struttura rotazionale ben definita. Infatti, gli orbitali (p) (le famose “forme a lobo”) sono le armoniche sferiche:
$$ Y_1^{-1},\; Y_1^{0},\; Y_1^{+1} $$
e corrispondono ai tre possibili valori:
$$ m_l = -1,\; 0,\; +1 $$
Fisicamente $ L $ non punta in una direzione precisa, ma precessa formando un cono.
L’orbitale (p) ha una forma angolare asimmetrica, proprio perché \( l = 1 \).
In altre parole, la forma dell’orbitale è la firma visibile del momento angolare orbitale.
2) Momento angolare di spin \( \mathbf{S} \)
Lo stesso elettrone possiede anche lo spin:
$$ s = \frac{1}{2} $$
con valori ammessi:
$$ m_s = \pm \frac{1}{2} $$
Quindi, per ciascun orbitale (p), l’elettrone può trovarsi in due stati distinti di spin:
- (p) con spin “up” \( (m_s = +\tfrac{1}{2}) \)
- (p) con spin “down” \( (m_s = -\tfrac{1}{2}) \)
Lo spin non è dovuto a un moto reale nello spazio, cioè non c’è nessuna rotazione fisica dell’elettrone attorno a sé stesso.
Questo stato di spin non influisce sulla forma dell’orbitale nello spazio, perché non è legato alla geometria, ma è una proprietà interna della particella.
In conclusione, nello stesso stato quantico sono presenti due contributi di momento angolare, quello orbitale $ L $ e quello di spin $ S $.
La loro combinazione (somma vettoriale) dà origine al momento angolare totale $ J $:
$$ \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} $$
Questa somma produce una leggera differenza di energia tra gli stati possibili, ed è proprio questo effetto che genera le sottili sdoppiature osservate negli spettri atomici (la cosiddetta struttura fine).
Cosa sono quei coni nella figura? I vettori non sono fermi, ma precessano, cioè girano attorno a un asse, un po’ come fa una trottola che non è perfettamente verticale. In particolare $ L $ e $ S $ girano attorno a $ J $. A sua volta $ J $ ruota attorno alla direzione del campo magnetico che è l’asse verticale nell’immagine. Questo moto circolare crea la forma “a cono”. In presenza di un campo magnetico esterno, l’atomo “sente” il campo e il momento angolare totale $ J $ viene costretto a precessare attorno alla direzione del campo. Per questo $ J $ si dispone attorno all’asse verticale $ z $.
E così via.
