La velocità di decadimento
La velocità di decadimento $ \Gamma $ (o tasso di decadimento) misura la probabilità che una particella decada in un'unità di tempo (ossia si disintegri).
Conoscere il tasso di decadimento Γ permette indirettamente permette di misurare il tempo di vita della particella.
È importante chiarire subito un punto fondamentale: non ha senso parlare del tempo di vita di una singola particella in modo deterministico, ciò che si può definire è il tempo di vita medio \( \tau \) di un grande insieme di particelle identiche.
Il decadimento è un processo intrinsecamente casuale e le particelle elementari non hanno memoria.
Questo significa che la probabilità che una particella decada in un certo intervallo di tempo non dipende da quanto tempo la particella esiste già.
Ad esempio, un uomo anziano ha maggiori probabilità di morire rispetto a un giovane. Viceversa, un muone appena creato e un muone che esiste già da un certo tempo hanno esattamente la stessa probabilità di decadere nell’istante successivo. Pertanto, dal punto di vista delle interazioni fondamentali, tutti i muoni sono identici, indipendentemente da quando sono stati prodotti.
Legge di decadimento esponenziale
Supponiamo di avere N(t) particelle al tempo t. Nel successivo intervallo di tempo infinitesimo dt, una frazione ΓN dt di queste decade.
Questo porta all’equazione differenziale:
\[ \mathrm{d}N = - \Gamma N \mathrm{d}t \]
La soluzione è:
\[ N(t) = N(0) e^{-\Gamma t} \]
Da questa si deduce che il numero di particelle rimanenti decresce esponenzialmente nel tempo e che il tempo di vita medio è semplicemente l'inverso della velocità di decadimento:
\[ \tau = \frac{1}{\Gamma} \]
Quindi, conoscere Γ equivale a conoscere il tempo di vita della particella.
Tuttavia, molte particelle possono decadere attraverso più canali diversi.
Ad esempio, un pione π⁺ può decadere in $ μ⁺ + ν_μ $ oppure in $ e⁺ + ν_e $, oppure in canali più rari con emissione di fotoni o altre particelle.
Come affrontare il problema dei decadimenti multipli?
Se una particella può decadere attraverso più canali distinti, ciascuno caratterizzato da un proprio tasso di decadimento $ Γ_i $, il tasso totale di decadimento è dato dalla somma dei singoli contributi:
\[ \Gamma_{\text{tot}} = \sum_i \Gamma_i \]
Quindi, il tempo di vita medio complessivo della particella è l’inverso del tasso totale di decadimento:
\[ \tau = \frac{1}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
Oltre al tempo di vita, è fondamentale determinare con quale probabilità avviene ciascun canale di decadimento.
A questo scopo si introduce il rapporto di diramazione (branching ratio) relativo al canale $ i $ definito come:
\[ \text{BR}_i = \frac{\Gamma_i}{\Gamma_{\text{tot}}} \]
Il rapporto di diramazione rappresenta la frazione di particelle che decadono secondo quel particolare canale.
In conclusione, una volta calcolati i tassi di decadimento parziali $ Γ_i $, si ottengono immediatamente sia il tempo di vita medio della particella sia le probabilità dei diversi canali di decadimento.
E così via.
