Calcolo perturbativo

Il calcolo perturbativo è una tecnica matematica per calcolare approssimativamente una quantità fisica quando l’interazione è sufficientemente debole, sviluppando i risultati in potenze della costante di accoppiamento.

In pratica, se un problema fisico è troppo difficile da risolvere esattamente, ma l'interazione è piccola, allora si può trattare l'interazione come una "perturbazione" di un problema più semplice.

1. Si parte da una soluzion esatta di un sistema "ideale" (senza interazione). 
2. Si aggiungono delle correzioni sempre più piccole, dovute all’interazione reale. 
3. Si sviluppa il risultato tramite una serie di potenze della costante di accoppiamento.

Nota. Questa tecnica è molto  usata nella fisica teorica, soprattutto nelle teorie quantistiche dei campi. Nel contesto della QED o della QCD, il calcolo perturbativo è usata nel calcolo delle ampiezze di scattering (probabilità di interazioni tra particelle), delle correzioni ai propagatori (es. massa, carica, momento magnetico) e delle sezioni d'urto (probabilità di reazione). 

Esempio semplice (matematico)

Devo calcolare una funzione difficile, ad esempio:

$$ f(g) = \text{una quantità fisica dipendente da una costante } g $$

Se $g \ll 1$, ossia se $ g $ è molto più piccolo di 1, posso scrivere:

$$ f(g) = f_0 + g f_1 + g^2 f_2 + g^3 f_3 + \dots $$

Dove:

• $f_0$ è il risultato senza interazione (ordine zero)
• $g f_1$ è la prima correzione dovuta all’interazione
• $g^2 f_2$ è la seconda correzione, ecc.

Questa è detta serie perturbativa.

I termini della serie perturbativa sono rappresentati graficamente con i diagrammi di Feynman:

Nelle teorie quantistiche (come QED e QCD) ogni ordine della serie corrisponde a un diagramma di Feynman che rappresenta una possibile interazione tra le particelle

Ogni diagramma contribuisce con un termine proporzionale a una potenza della costante di accoppiamento.

Note

Alcune osservazioni e note a margine:

• I limiti del calcolo perturbativo
  Il calcolo perturbativo funziona solo se la costante di accoppiamento è piccola, ossia se le interazioni tra le particelle sono molto deboli.

  Ad esempio, nella QED (elettrodinamica quantistica) la costante di accoppiamento è molto bassa ( $\alpha \approx \frac{1}{137}$ ) perché i fotoni sono neutri, in questo caso il calcolo perturbativo offre delle approssimazioni accettabili. Viceversa, nella QCD (cromodinamica quantistica) a bassa energia la costante di accoppiamento è alta ( $\alpha_s \sim 1$ ), quindi la serie non converge. In questo caso il calcolo perturbativo non è adatto ed è necessario usare dei metodi non perturbativi

E così via.