Teorema di Noether
In forma intuitiva, il teorema viene spesso riassunto nel modo seguente:
A ogni simmetria continua di un sistema fisico corrisponde una legge di conservazione.
In altre parole, quando le leggi di una teoria fisica possiedono una simmetria continua, esiste una quantità fisica associata che si conserva.
E' uno dei risultati fondamentali della fisica teorica e della matematica applicata, dimostrato nel 1918 dalla matematica Emmy Noether.
Cosa significa simmetria?
Una simmetria è una trasformazione che non cambia le leggi del sistema.
Se un sistema fisico si comporta allo stesso modo prima e dopo una di queste trasformazioni, si dice che è invariante rispetto a quella simmetria.
Ad esempio, le simmetrie possono manifestarsi nello spazio o nel tempo, come nel caso delle traslazioni e delle rotazioni, oppure riguardare la struttura interna dei campi, come accade per le simmetrie di gauge.
Il teorema di Noether è il ponte matematico tra le simmetrie e le leggi di conservazione della fisica.
Ecco alcuni esempi fondamentali
- Simmetria nel tempo → Conservazione dell'energia
Se le leggi della fisica sono le stesse oggi, domani e tra un anno, cioè non dipendono dal momento in cui si svolge un esperimento, allora l'energia totale si conserva. - Simmetria nello spazio → Conservazione della quantità di moto
Se le leggi della fisica sono identiche in tutti i punti dello spazio, allora si conserva la quantità di moto. - Simmetria di rotazione → Conservazione del momento angolare
Se un sistema si comporta allo stesso modo indipendentemente dal suo orientamento nello spazio, allora il momento angolare rimane costante.
Un esempio intuitivo. Considero una pattinatrice che ruota su se stessa. Quando avvicina le braccia al corpo gira più velocemente. Quando le allarga gira più lentamente. Nonostante il cambiamento di velocità di rotazione, il momento angolare totale si conserva. Questa conservazione deriva dalla simmetria delle leggi fisiche rispetto alle rotazioni. Quando avvicina le braccia al corpo gira più velocemente non perché il momento angolare aumenti, ma perché il momento d'inerzia diminuisce mentre il momento angolare rimane costante.
Il teorema di Noether non è solo una curiosità matematica: è la spina dorsale della fisica moderna.
Perché è così importante?
Prima di Noether molte leggi di conservazione erano note sperimentalmente, ma non si comprendeva pienamente la loro origine.
Il teorema mostrò che energia, quantità di moto e momento angolare non sono principi di conservazione indipendenti, ma conseguenze matematiche delle simmetrie fondamentali dell'universo.
Nota. Albert Einstein stesso riconobbe l'importanza cruciale del lavoro di Emmy Noether nel chiarire gli aspetti matematici delle leggi di conservazione nella relatività generale.
In modo rigoroso, il teorema non afferma semplicemente che a ogni simmetria della natura corrisponde una quantità conservata, ma riguarda sistemi descritti da un principio variazionale.
Più precisamente, se l'azione di un sistema fisico è invariante rispetto a una trasformazione continua e differenziabile, allora esiste una corrente conservata associata a quella simmetria.
Le applicazioni più note riguardano le simmetrie dello spazio e del tempo. Queste corrispondenze costituiscono alcuni degli esempi più importanti del teorema. Riepilogando:
| Simmetria | Legge di conservazione | Quantità conservata |
|---|---|---|
| Invarianza nel tempo (le leggi non cambiano nel tempo) | Conservazione dell’energia | Energia totale |
| Invarianza nello spazio (le leggi sono le stesse ovunque) | Conservazione della quantità di moto | Quantità di moto |
| Invarianza per rotazioni (le leggi non dipendono dall’orientamento) | Conservazione del momento angolare | Momento angolare |
Tuttavia, il teorema di Noether non si applica soltanto alle simmetrie geometriche dello spazio e del tempo.
Nella Teoria Quantistica dei Campi e nel Modello Standard rivestono un'importanza fondamentale anche le cosiddette simmetrie interne, come i gruppi di simmetria U(1), SU(2) e SU(3). Da queste simmetrie derivano correnti e cariche conservate, tra cui la conservazione della carica elettrica e altre quantità fondamentali per la fisica delle particelle.
L'importanza storica del teorema risiede nel fatto che mostrò come le leggi di conservazione non siano principi indipendenti ottenuti soltanto dall'osservazione sperimentale, ma conseguenze matematiche delle simmetrie profonde presenti nelle teorie fisiche formulate tramite un principio d'azione.
Nota. Il teorema assume un ruolo ancora più profondo nella fisica moderna. Nella meccanica classica e nella relatività speciale la conservazione dell'energia deriva dall'invarianza rispetto alle traslazioni temporali. Nella Relatività Generale, però, la situazione è più complessa. In uno spaziotempo dinamico, come quello di un universo in espansione, può non esistere una simmetria temporale globale e la definizione stessa di energia totale conservata diventa problematica. Nonostante queste sottigliezze, il teorema di Noether rimane uno dei pilastri della fisica moderna. Ancora oggi rappresenta uno degli strumenti concettuali più potenti per comprendere la struttura matematica dell'universo.
La formulazione matematica
Il teorema si applica ai sistemi descritti da una Lagrangiana L che dipende dalle coordinate generalizzate $ q_i $, dalle loro derivate temporali $ \frac{dq_i}{dt} $, e dal tempo $ t $:
$$ L = L(q_i, \dot{q}_i, t) $$
Se la Lagrangiana resta invariata sotto una trasformazione continua dei $ q_i $, cioè cambia al più di una derivata totale nel tempo, allora esiste una quantità conservata.
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} , \delta q_i \right) = 0 $$
Quella tra parentesi è la quantità di Noether, cioè la grandezza fisica che si conserva.
Esempio 1 (invarianza temporale)
Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, la simmetria è una traslazione nel tempo
$$ \frac{ ∂L}{∂t} = 0 $$
Questo significa che se “trasliamo” tutto il sistema nel tempo, ad esempio da $ t $ a $ t + Δt $, la forma di L non cambia.
In altre parole, spostare tutto di un intervallo $ Δt $ non cambia le leggi del moto, sono le stesse oggi, domani o fra mille anni.
Questa è una simmetria di traslazione temporale.
In questo caso l’energia totale si conserva.
Nota. Un sistema fisico è descritto da una Lagrangiana: $$ L(q_i, \dot{q}_i, t) $$ e le sue equazioni del moto derivano dal principio di minima azione: $$ \delta S = 0 \quad \text{dove} \quad S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t), dt $$ Da questo principio si ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 $$ Supponiamo ora che la Lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo, cioè: $$ \frac{\partial L}{\partial t} = 0 $$ Questo significa che se trasliamo tutto il sistema nel tempo, la forma di $ L $ non cambia. In altre parole, le leggi del moto sono le stesse. Si tratta di una simmetria temporale. Dal teorema di Noether, a ogni simmetria continua corrisponde una quantità conservata. Nel caso della simmetria temporale, la quantità è l'energia totale del sistema $$ E = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L $$ Deriviamo $ E $ rispetto al tempo: $$ \frac{dE}{dt} =
\frac{d}{dt}\left(\sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L\right) $$ Sviluppando: $$ \frac{dE}{dt} =
\sum_i \ddot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} * \sum_i \dot{q}_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)
- \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t} $$ Ma, per le equazioni di Eulero-Lagrange, $$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} $$ Quindi i due termini centrali si cancellano, e resta: $$ \frac{dE}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} $$ Se $ L $ non dipende esplicitamente dal tempo, cioè $ ∂L/∂t = 0 $, allora: $$ \frac{dE}{dt} = 0 $$ L’energia totale si conserva.
Esempio 2 (invarianza spaziale)
Se la Lagrangiana non dipende dalla posizione assoluta $ x $, ma solo dalle distanze relative, la simmetria è una traslazione nello spazio.
Di conseguenza, si conserva la quantità di moto.
Esempio 3 (invarianza per rotazioni)
Se la Lagrangiana non cambia ruotando il sistema, la simmetria è una rotazione.
Di conseguenza, si conserva il momento angolare.
E così via.
