Teorema di Noether
A ogni simmetria continua di un sistema fisico corrisponde una legge di conservazione.
In altre parole, ogni volta che in natura esiste una simmetria, allora esiste una quantità fisica che si conserva.
Cosa significa simmetria?
Una simmetria è una trasformazione che non cambia le leggi del sistema.
Se un sistema fisico si comporta allo stesso modo prima e dopo una di queste trasformazioni, si dice che è invariante rispetto a quella simmetria.
Ad esempio, le simmetrie possono manifestarsi nello spazio o nel tempo, come nel caso delle traslazioni e delle rotazioni, oppure riguardare la struttura interna dei campi, come accade per le simmetrie di gauge.
Il teorema di Noether è il ponte matematico tra le simmetrie e leggi di conservazione della fisica.
Ecco alcuni esempi fondamentali:
| Simmetria | Legge di conservazione | Quantità conservata |
|---|---|---|
| Invarianza nel tempo (le leggi non cambiano nel tempo) | Conservazione dell’energia | Energia totale |
| Invarianza nello spazio (le leggi sono le stesse ovunque) | Conservazione della quantità di moto | Quantità di moto |
| Invarianza per rotazioni (le leggi non dipendono dall’orientamento) | Conservazione del momento angolare | Momento angolare |
| Invarianza di gauge (le leggi non cambiano se si varia la “fase interna” dei campi) | Conservazione della carica | Carica elettrica |
Il teorema di Noether non è solo una curiosità matematica: è la spina dorsale della fisica moderna, perché mostra che le leggi di conservazione non sono postulati separati, ma discendono direttamente dalle simmetrie fondamentali dell’universo.
Nota. Albert Einstein stesso riconobbe che senza il lavoro di Emmy Noether (1917), la teoria della relatività generale non avrebbe avuto una formulazione coerente sul piano matematico.
La formulazione matematica
Il teorema si applica ai sistemi descritti da una Lagrangiana L che dipende dalle coordinate generalizzate $ q_i $, dalle loro derivate temporali $ \frac{dq_i}{dt} $, e dal tempo $ t $:
$$ L = L(q_i, \dot{q}_i, t) $$
Se la Lagrangiana resta invariata sotto una trasformazione continua dei $ q_i $, cioè cambia al più di una derivata totale nel tempo, allora esiste una quantità conservata.
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} , \delta q_i \right) = 0 $$
Quella tra parentesi è la quantità di Noether, cioè la grandezza fisica che si conserva.
Esempio 1 (invarianza temporale)
Se la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, la simmetria è una traslazione nel tempo
$$ \frac{ ∂L}{∂t} = 0 $$
Questo significa che se “trasliamo” tutto il sistema nel tempo, ad esempio da $ t $ a $ t + Δt $, la forma di L non cambia.
In altre parole, spostare tutto di un intervallo $ Δt $ non cambia le leggi del moto, sono le stesse oggi, domani o fra mille anni.
Questa è una simmetria di traslazione temporale.
In questo caso l’energia totale si conserva.
Nota. Un sistema fisico è descritto da una Lagrangiana: $$ L(q_i, \dot{q}_i, t) $$ e le sue equazioni del moto derivano dal principio di minima azione: $$ \delta S = 0 \quad \text{dove} \quad S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t), dt $$ Da questo principio si ottengono le equazioni di Eulero-Lagrange: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 $$ Supponiamo ora che la Lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo, cioè: $$ \frac{\partial L}{\partial t} = 0 $$ Questo significa che se trasliamo tutto il sistema nel tempo, la forma di $ L $ non cambia. In altre parole, le leggi del moto sono le stesse. Si tratta di una simmetria temporale. Dal teorema di Noether, a ogni simmetria continua corrisponde una quantità conservata. Nel caso della simmetria temporale, la quantità è l'energia totale del sistema $$ E = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L $$ Deriviamo $ E $ rispetto al tempo: $$ \frac{dE}{dt} =
\frac{d}{dt}\left(\sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L\right) $$ Sviluppando: $$ \frac{dE}{dt} =
\sum_i \ddot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} * \sum_i \dot{q}_i \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)
- \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial t} $$ Ma, per le equazioni di Eulero-Lagrange, $$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) = \frac{\partial L}{\partial q_i} $$ Quindi i due termini centrali si cancellano, e resta: $$ \frac{dE}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} $$ Se $ L $ non dipende esplicitamente dal tempo, cioè $ ∂L/∂t = 0 $, allora: $$ \frac{dE}{dt} = 0 $$ L’energia totale si conserva.
Esempio 2 (invarianza spaziale)
Se la Lagrangiana non dipende dalla posizione assoluta $ x $, ma solo dalle distanze relative, la simmetria è una traslazione nello spazio.
Di conseguenza, si conserva la quantità di moto.
Esempio 3 (invarianza per rotazioni)
Se la Lagrangiana non cambia ruotando il sistema, la simmetria è una rotazione.
Di conseguenza, si conserva il momento angolare.
E così via.
