La vita media delle particelle
La vita media ( $ \tau $ ) di una particella è il tempo medio che trascorre prima del suo decadimento. Rappresenta una misura statistica della stabilità della particella ed è inversamente proporzionale al suo tasso di decadimento. $$ \tau = \frac{ 1 }{ \Gamma } $$
Quando una particella instabile viene prodotta, non è possibile prevedere il momento esatto in cui decadrà. Il decadimento è infatti un processo probabilistico.
Ad esempio, due muoni creati nello stesso istante possono decadere in tempi differenti.
Per questa ragione non interessa la durata della vita di una singola particella, ma la vita media del fenomeno osservata su un grande numero di particelle.
In genere, la vita media delle particelle si indica con il simbolo $ \tau $.
L'obiettivo è comprendere come una particella instabile si trasforma spontaneamente in altre particelle e con quale probabilità questo avviene.
Nota. Nello studio della fisica delle particelle si utilizzano principalmente tre categorie di sistemi e processi fisici: stati legati, decadimenti e scattering. La meccanica quantistica non relativistica fornisce una descrizione particolarmente efficace di molti stati legati, mentre la teoria quantistica dei campi relativistica è lo strumento fondamentale per lo studio dei decadimenti e dei processi di scattering ad alte energie.
Essendo un processo probabilistico, il decadimento di una particella non può essere previsto con precisione per un singolo evento. È però possibile determinarne statisticamente la vita media a partire dal suo tasso di decadimento, misurato sperimentalmente.
Il tasso di decadimento rappresenta la probabilità per unità di tempo che una particella si disintegri. Questa quantità è indicata con il simbolo $ \Gamma $. Nella teoria quantistica dei campi viene anche detta larghezza di decadimento.
La probabilità di decadimento di una particella in un dato intervallo di tempo non dipende dalla sua età.
Una particella appena prodotta e una che esiste da molto tempo hanno la stessa probabilità di decadere nell'istante successivo. In altre parole, le particelle non hanno memoria del tempo trascorso dalla loro nascita.
Ad esempio, un muone appena creato e un muone esistente da più tempo hanno esattamente la stessa probabilità di decadere.
Nota. Per comprendere meglio questo concetto, si può fare un confronto con gli esseri umani. Una persona di 80 anni ha generalmente una speranza di vita inferiore a quella di una persona di 20 anni. Per una particella instabile, invece, l'età non conta: una particella "giovane" e una "vecchia" hanno la stessa probabilità di decadere in un determinato intervallo di tempo.
Quindi, la vita media di una particella è inversamente proporzionale al suo tasso di decadimento.
$$ \tau = \frac{ 1 }{ \Gamma } $$
In generale, un tasso di decadimento elevato corrisponde a una vita media breve e viceversa.
Ad esempio, supponiamo che il tasso di decadimento del muone sia: \[\Gamma = 0,1 \ \text{s}^{-1} \]
La vita media della particella vale: \[ \tau=\frac{1}{\Gamma}=\frac{1}{0,1}=10 \ \text{s} \]
Questo non significa che tutti i muoni vivono 10 secondi. Significa che, mediamente, la loro durata di vita è $ \tau = 10 $ secondi.
Nota. In questo esempio ho scelto volutamente numeri semplici per rendere più chiaro il significato della vita media e del tasso di decadimento. Nella realtà, la vita media di un muone è molto più breve ed è pari a $ 2.2 \times 10^{-6} $ secondi, cioè circa 2,2 microsecondi. In ogni caso, quando diciamo che un muone ha una vita media di circa \( 2,2 \times 10^{-6} \) secondi, non significa che ogni muone vive esattamente quel tempo. Il decadimento è un fenomeno casuale. Quindi, un muone potrebbe decadere dopo \( 10^{-7} \) secondi, un altro dopo \( 5 \times 10^{-6} \) secondi, un altro ancora dopo \(10^{-5} \) secondi, e via dicendo. In pratica, non si può prevedere il momento esatto in cui decadrà un singolo muone. E' però possibile misurare sperimentalmente e prevedere il comportamento di una popolazione molto grande di muoni.
La diminuzione delle particelle segue una curva esponenziale seguendo una legge esponenziale.
L'equazione del decadimento è:
\[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
Dove \( N(0) \) è il numero iniziale di particelle, \( N(t) \) è il numero di particelle ancora presenti al tempo $ t $ e \( \Gamma \) è il tasso di decadimento.
Quindi, il numero di particelle residue diminuisce esponenzialmente nel tempo.
Ad esempio, se all'inizio avevo $ N(0)= 1000 $ particelle con un tasso di decadimento \( \Gamma = 0,1 \ \text{s}^{-1} \), dopo $ t=10 $ secondi ne rimangono circa 368.
\[N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-0,1 \cdot 10} \]
\[ N(10)=1000 \cdot e^{-1} \]
Poiché \( e^{-1}\approx 0,367879 \) segue che
\[ N(10)\approx 1000 \cdot 0,367879 \]
\[ N(10)\approx 367,879 \]
\[ N(10)\approx 368 \]
Dopo 10 secondi rimangono quindi circa 368 particelle, mentre circa 632 particelle sono decadute.
Dimostrazione. Supponiamo di avere $ N $ particelle all'istante $ t $. Durante un intervallo infinitesimo $ dt $, il numero di particelle che decadono è proporzionale sia al numero di particelle presenti sia al tasso di decadimento $ Γ $. La legge fondamentale del decadimento è \[ dN=-\Gamma N dt \] Il segno negativo indica che il numero di particelle diminuisce nel tempo. Risolvendo questa equazione differenziale si ottiene l'equazione esponenziale della legge di decadimento \[ N(t)=N(0)e^{-\Gamma t} \]
Bisogna però considerare che una particella può avere diversi canali di decadimento, ossia può decadere in modi differenti.
Ogni canale possiede un proprio tasso di decadimento $ \Gamma_i $.
Ad esempio, il pione positivo può decadere principalmente in \( \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_\mu \) ma può anche decadere attraverso altri canali meno probabili.
Se una particella può decadere attraverso n canali differenti, il tasso di decadimento totale è la somma dei tassi dei singoli canali.
\[ \Gamma_{tot}=\sum_{i=1}^{n}\Gamma_i \]
La vita media della particella dipende quindi dal tasso totale:
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{tot}} \]
Pertanto, per conoscere la vita media di una particella è necessario considerare tutti i possibili modi in cui essa può decadere.
Esempio. Supponiamo che una particella possa decadere attraverso due canali:
- Canale A: \( \Gamma_1 = 2\ \text{s}^{-1} \)
- Canale B: \( \Gamma_2 = 3\ \text{s}^{-1} \)
Il tasso di decadimento totale è:
\[ \Gamma_{tot}=\Gamma_1+\Gamma_2=(2+3) \text{s}^{-1} =5\ \text{s}^{-1} \]
Quindi, la vita media della particella vale:
\[ \tau=\frac{1}{\Gamma_{tot}}=\frac{1}{5}=0,2\ \text{s} \]
Anche se ciascun canale contribuisce in modo diverso al decadimento, la vita media dipende dal tasso totale ottenuto sommando i contributi di tutti i canali possibili.
I rapporti di diramazione
Oltre alla vita media, è importante conoscere la probabilità relativa dei diversi canali di decadimento.
Questa quantità è detta rapporto di diramazione (branching ratio).
Per il canale i-esimo il rapporto di diramazione è
\[ BR_i=\frac{\Gamma_i}{\Gamma_{tot}} \]
Il rapporto di diramazione indica quale frazione di tutte le particelle segue quel particolare canale di decadimento.
Un esempio pratico
Supponiamo che una particella abbia due canali di decadimento:
\[ \Gamma_1=6 \]
\[ \Gamma_2=4 \]
Il tasso totale vale
\[ \Gamma_{tot}=6+4=10 \]
I rapporti di diramazione sono:
\[ BR_1=\frac{6}{10}=0.6 \]
\[ BR_2=\frac{4}{10}=0.4 \]
Ciò significa che il 60% delle particelle decade attraverso il primo canale, mentre il 40% delle particelle decade attraverso il secondo canale.
I branching ratio indicano con quale frequenza la particella sceglie ciascun canale di decadimento.
Conclusione
In conclusione, per studiare i decadimenti bastano due informazioni:
- Il tasso di decadimento totale e la vita media
Quanto velocemente la particella decade ( \( \Gamma \) o \( \tau \) ) - Il branching ratio
In quali prodotti decade e con quale probabilità
La vita media dipende dal tasso totale di decadimento, mentre i rapporti di diramazione determinano come tale decadimento si distribuisce tra i diversi canali possibili.
E così via.
