Retta tangente di una circonferenza

Una retta è detta retta tangente a una circonferenza quando tocca la circonferenza in un solo punto.

In altre parole, una retta tangente ha un solo punto in comune con la circonferenza.

A differenza delle rette secanti che hanno due punti in comune e delle rette esterne che non ne hanno nessuno.

Nota. In base al teorema dei punti in comune tra una retta e una circonferenza, una retta può intersecare la circonferenza al più in due punti.

L'unicità della retta tangente in punto della circonferenza

In un punto P della circonferenza passa una e una sola retta tangente.

Questo teorema è molto importante perché afferma che in un punto P della circonferenza può esserci una e una sola retta tangente.

Dimostrazione

Considero una circonferenza con centro O e raggio OP. Inoltre, prendo in considerazione una retta (r) tangente alla circonferenza nel punto P.

Per definizione, la retta tangente ha un solo punto in comune con la circonferenza.

Sapendo che in un punto di una retta passa un'unica perpendicolare, deduco che la retta tangente abbia una e una sola perpendicolare nel punto P.

In base al teorema della distanza di una retta da una circonferenza, se una retta è tangente in un punto della circonferenza, allora la sua distanza d(r,O) dal centro della circonferenza (O) è uguale al raggio (OP).

$$ d(r,O) \cong \overline{OP} $$

Nota. Quando parlo di "distanza" di una retta (r) da un punto (O) intendo il segmento più corto che li congiunge. Come si può facilmente intuire, qualsiasi altro segmento non perpendicolare alla retta comporta un percorso più lungo per spostarsi dal punto O alla retta r.

Sapendo che la distanza tra una retta e un punto è sempre perpendicolare alla retta, deduco che anche il raggio è perpendicolare alla retta tangente nel punto P.

$$ \overline{OP} \perp r $$

Poiché nel punto P della retta r non possono esserci altre rette perpendicolari, deduco che nel punto P della circonferenza esiste una e una sola retta tangente.

E così via.