Area del cerchio

L'area del cerchio (A) può essere calcolata usando la formula $$ A = \pi r^2 $$ dove \(r\) è il raggio del cerchio, mentre $ \pi $ è la costante pi greco.

Il simbolo \(\pi\) (pi) è una costante matematica detta "pi greco" il cui valore è approssimativamente 3.14159, ma può essere approssimato a 3.14 per la maggior parte dei calcoli semplici.

Un esempio pratico

Prendo come esempio un cerchio che ha un raggio di lunghezza r=2.2361

A questo punto calcolo l'area del cerchio utilizzando la formula:

$$ A = \pi r^2  = 15.708 $$

L'area del cerchio è circa 15.708.

Verifica. Per una rapida verifica calcolo l'area del cerchio anche su Geogebra. Il risultato è lo stesso.

Dimostrazione

Considero un cerchio con raggio r e una circonferenza c.

Si può dimostrare che l'area del cerchio è uguale all'area di un triangolo che ha per base la lunghezza della circonferenza e per altezza il raggio.

Quindi, data questa equivalenza, posso scrivere l'area del cerchio uguale all'area del triangolo, ovvero base per altezza diviso due:

$$ A_c = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza} $$

In questo caso, la base del triangolo è la circonferenza (c) mentre l'altezza è il raggio (r).

$$ A_c = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r $$

Sapendo che la circonferenza è $ c = 2 \pi r $

$$ A_c = \frac{1}{2} \cdot (2 \pi r ) \cdot r $$

$$ \require{cancel} A_c = \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \pi r^2 $$

$$ A_c = \pi r^2 $$

Questo dimostra la formula del calcolo dell'area.

E così via.