Segmento circolare
Un segmento circolare è una parte del cerchio delimitata da un arco di circonferenza e dalla corda che congiunge i suoi estremi.
In altre parole, il segmento circolare è l'area di un cerchio compresa tra una corda e l'arco da essa sotteso.
E' anche detto segmento circolare a una base.
Dove la corda è un segmento che congiunge due punti distinti sulla circonferenza del cerchio. La lunghezza della corda e l'arco sotteso determinano la dimensione e la forma del segmento circolare. L'arco, invece, è la parte della circonferenza del cerchio compresa tra i due estremi della corda.
Le formule del segmento circolare
L'area Asc di un segmento circolare posso calcolarla per differenza, sottraendo l'area del triangolo formato dalla corda e dai due raggi dall'area del settore circolare As
$$ A_{sc} = \frac{r^2}{2} \cdot ( \frac{\pi \alpha}{180°} - \sin \alpha ) $$
Dove α è è l'angolo al centro, espresso in gradi mentre r è il raggio del cerchio.
Nota. L'angolo al centro è l'angolo formato dai due raggi che congiungono il centro del cerchio agli estremi della corda. La misura di questo angolo determina la lunghezza dell'arco e, di conseguenza, l'area del segmento circolare.
In radianti la formula dell'area è
$$ A_{sc} = \frac{1}{2} r^2 \cdot ( \alpha - \sin \alpha ) $$
Dimostrazione. L'area di un settore circolare con l'ampiezza dell'angolo al centro α misurata in gradi è $$ \frac{ \alpha}{360} \cdot \pi r^2 $$ L'area del triangolo con vertici sugli estremi della corda e il centro del cerchio può essere calcolata utilizzando la formula trigonometrica dell'area del triangolo in termini di due lati e l'angolo compreso tra di essi. $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha $$ Dove a e b sono i lati e α è l'angolo compreso. Nel caso del triangolo che ha come vertici gli estremi della corda e il centro del cerchio, i lati a e b sono entrambi uguali al raggio r del cerchio (a=b=r). Quindi, l'area del triangolo è $$ \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \alpha $$ Sapendo che l'area del segmento circolare è uguale alla differenza dell'area del settore circolare e del triangolo $$ A_{sc} = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin(\alpha) $$ Metto in evidenza r2/2 e ottengo la formula per calcolare l'area del segmento circolare con un angolo in gradi $$ A_{sc} = \frac{r^2}{2} \cdot ( \frac{\pi \alpha}{180°} - \sin \alpha ) $$ Per ottenere la formula in radianti, basta misurare l'angolo piatto con π radianti anziché 180° e semplificare. $$ A_{sc} = \frac{r^2}{2} \cdot ( \frac{\pi \alpha}{\pi} - \sin \alpha ) $$ $$ A_{sc} = \frac{r^2}{2} \cdot ( \alpha - \sin \alpha ) $$
Se il segmento circolare rappresenta meno della metà del cerchio, l'area del segmento circolare può essere calcolata sottraendo l'area del triangolo OAB dall'area del settore circolare corrispondente.
Viceversa, se il segmento circolare supera la metà di un cerchio (semicerchio), l'area del segmento corrisponde alla somma dell'area del settore circolare e dell'area del triangolo OAB.
La lunghezza L dell'arco sotteso dalla corda può essere calcolata come:
$$ L = \frac{ \alpha }{180} \cdot \pi r $$
Il segmento circolare a due basi
Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele.
L'area del segmento circolare con due basi si determina sottraendo dall'area totale A del cerchio le aree dei due segmenti formati dalle singole corde AB e CD.
E così via.
