Arco di una circonferenza

L'arco di una circonferenza è una parte della circonferenza stessa, delimitata da due suoi punti A e B.

I due punti A e B che delimitano l'arco sono detti estremi dell'arco.

In pratica, un arco rappresenta la distanza "curva" tra due punti distinti della circonferenza.

Si distingue da un segmento che, invece, rappresenta la distanza "lineare" tra di essi.

Nota. Scelti due punti distinti A e B della circonferenza, la circonferenza viene suddivisa in due archi che si completano a vicenda. Quindi, ogni volta sarebbe necessario aggiungere un terzo punto C per indicare a quale arco ci si riferisce. Per convenzione, dati due punti A e B si intende l'arco costruito in senso antiorario tra i due punti A e B.

La lunghezza dell'arco

Per calcolare la lunghezza (L) di un arco di circonferenza, moltiplico l'angolo al centro α (in radianti) per il raggio (r) della circonferenza. $$ L = r \cdot \alpha_{rad} $$ Se l'angolo è misurato in gradi, la lunghezza dell'arco si misura in questo modo  $$ L = r \cdot \frac{ \pi \cdot \alpha_{gradi} }{180} $$

Quando l'angolo è espresso in gradi, devo convertirlo in radianti prima di utilizzare la formula.

$$ \alpha_{rad} = \frac{ \pi \cdot \alpha_{gradi} }{180} $$

Quindi, basta sostituire α_rad nella formula della lunghezza dell'arco.

$$ L = r \cdot \alpha_{rad} $$

In questo caso la formula lunghezza dell'arco diventa:

$$ L = r \cdot \frac{ \pi \cdot \alpha_{gradi} }{180} $$

Un arco è detto arco completo quando rappresenta l'intera circonferenza. Un arco completo ha una lunghezza di 2πr, dove r è il raggio della circonferenza. $$ L = 2 \pi r $$

Nota. Questa relazione è basata sulla proporzione tra la lunghezza dell'arco e quella della circonferenza completa rispetto all'angolo sotteso e all'angolo giro. $$ 2 \pi : \alpha = 2 \pi r : L $$ Dove 2π è l'angolo giro in radianti, l'angolo α è l'angolo sotteso in radianti e 2πr è la lunghezza della circonferenza completa e L è la lunghezza dell'arco. Riorganizzando la formula proporzionale, ottengo la formula della lunghezza dell'arco $$ 2 \pi : \alpha = 2 \pi r : L $$ Riscrivo la relazione sotto forma di frazioni $$ \frac{2 \pi }{ \alpha } = \frac{2 \pi r }{L } $$ Divido entrambi i membri per 2π $$ \frac{1 }{ \alpha } = \frac{ r }{L } $$ Moltiplico entrambi i membri per L $$ \frac{L }{ \alpha } = r $$ Moltiplico entrambi i membri per α $$ L = r \cdot \alpha $$ Il risultato finale è la formula per calcolare la lunghezza dell'arco a partire dall'angolo al centro della circonferenza.

Esempio

Considero una circonferenza con un raggio r=3.

Un angolo al centro di 45° genera un arco di circonferenza tra i punti A e B.

In radianti l'angolo di 45° gradi equivale a π/4 radianti.

$$ \alpha = \frac{ \pi \cdot 45° }{180} = \frac{ \pi }{ 4 } $$

Quindi, la lunghezza dell'arco L tra i punti A e B in senso antiorario è la seguente

$$ L = \alpha \cdot r = \frac{ \pi }{4} \cdot 3 = 2,36 $$

La lunghezza dell'arco di circonferenza che corrisponde a un angolo al centro di 45° è 2,36

Osservazioni

Alcune osservazioni e note aggiunte sull'arco di una circonferenza

In una circonferenza ad archi uguali corrispondono angoli al centro uguali e angoli di circonferenza uguali.

• Proporzionalità
  La lunghezza dell'arco è direttamente proporzionale al raggio della circonferenza. Ad esempio, se raddoppio il raggio, anche la lunghezza dell'arco raddoppia.

  Nota. Ad esempio, in una circonferenza con raggio r=3, l'angolo al centro di 45° (π/4 radianti) traccia un arco lungo circa 2,356 (approssimato nel grafico a 2,36) $$ L = \alpha \cdot r = \frac{ \pi }{4} \cdot 3 ≈ 2,356 $$
  
  Se raddoppio l'angolo al centro portandolo a 90° (π/2 radianti) la lunghezza dell'arco diventa all'incirca 4,71 ovvero il doppio di 2,356. $$ L = \alpha \cdot r = \frac{ \pi }{2} \cdot 3 ≈ 4,71 $$
  

• Corda
  Il segmento tra gli estremi A e B di un arco è detta corda. A ogni arco corrisponde una corda specifica.
  
• Settore circolare
  L'area delimitata da un arco e dai due raggi che congiungono i suoi estremi A e B al centro O della circonferenza è chiamata settore circolare.
  

  

• Segmento circolare
  L'area delimitata da un arco e dal segmento che congiunge i suoi due estremi A e B è detta segmento circolare.
  

  

E così via