L'equazione della retta passante per due punti

L'equazione di una retta passante per due punti distinti \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) del piano può essere trovata utilizzando la formula seguente: $$  \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Questa formula è anche detta "condizione di allineamento della retta".

Permette di ottenere l'equazione della retta.

$$ ax+by+c=0 $$

Esempio

Devo trovare l'equazione della retta che passa per i punti diversi A e B del piano.

Il punto A si trova alle coordinate $ (x_1,y_1)=(1, 2) $ mentre il punto B alle coordinate $ (x_2,y_2)= (4, 5) $

Utilizzo la formula della retta passante per due punti.

$$  \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

In questo caso le coordinate dei due punti sono x₁=1, y₁=2 e x₂=4, y₂=5.

$$  \frac{y-2}{5-2}= \frac{x-1}{4-1} $$

$$  \frac{y-2}{3}= \frac{x-1}{3} $$

Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico entrambi i membri per 3 e semplifico l'equazione.

$$  \frac{y-2}{3} \cdot 3= \frac{x-1}{3} \cdot 3 $$

$$  y-2 = x-1 $$

Sposto tutti i termini al primo membro dell'equazione.

$$  y  - 2 - x + 1= 0 $$

$$  y - x -1 = 0 $$

Ho così trovato l'equazione in forma implicita y-x-1=0 della retta passante per i due punti (1,2) e (4,5).

Per passare alla forma esplicita basta ricavare la variabile y in funzione di tutto il resto.

$$  y  = x+1 $$

A questo punto sostituisco alla variabile indipendente x altri valori per ottenere i corrispondenti valori della variabile dipendente y.

$$ \begin{array}{c|c} x & y=x+1 \\ \hline -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array} $$

In questo modo ottengo tutti gli altri punti appartenenti alla retta.

 

Soluzione alternativa

In alternativa, posso usare le coordinate dei due punti per calcolare il coefficiente angolare (m) ovvero la pendenza della retta che passa attraverso questi due punti è dato da:

$$  m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Questa formula mi dice quanto la retta "sale" o "scende" man mano che ci si sposta da sinistra a destra lungo l'asse delle x.

Sapendo che le coordinate dei due punti sono x₁=1, y₁=2 e x₂=4, y₂=5.

$$  m = \frac{5 - 2}{4 - 1} $$

$$  m = \frac{3}{3} $$

$$  m = 1 $$

Una volta che hai il coefficiente angolare, puoi usare la forma punto-pendenza dell'equazione di una retta, che è:

$$  y - y_1 = m \cdot (x - x_1) $$

Sostituisco m=1.

$$  y - y_1 = 1 \cdot (x - x_1) $$

$$  y - y_1 = x - x_1 $$

Sapendo che x₁=1, y₁=2

$$  y - 2 = x - 1 $$

Ricavo la y e ottengo l'equazione della retta

$$  y = x - 1 + 2 $$

$$  y = x  + 1 $$

Il risultato finale è sempre lo stesso.

L'equazione della retta che passa per i punti \( (1, 2) \) e \( (3, 8) \) è \( y = 3x - 1 \).

La dimostrazione

Per dimostrare la formula della retta passante per due punti considero tre punti del piano (x₁;y₁), (x₂;y₂), (x;y)

Ipotizzo che in ciascun punto passi la stessa retta.

Quindi costruisco un sistema di equazioni. 

$$ \begin{cases} ax_1+by_1+c=0 \\ ax_2+by_2+c=0 \\ ax+by+c=0 \end{cases} $$

Utilizzo il metodo della riduzione e sottraggo la prima equazione dalla seconda e dalla terza equazione. 

$$ \begin{cases} a(x_2-x_1)+b(y_2-y_1)=0 \\ a(x-x_1)+b(y-y_1)=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a(x_2-x_1) = - b(y_2-y_1) \\ a(x-x_1) = - b(y-y_1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}= - \frac{b}{a} \\ \frac{x-x_1}{y-y_1}= - \frac{b}{a} \end{cases} $$

Dal confronto delle due equazioni è evidente che entrambe uguali a -b/a.

Quindi posso scrivere l'uguaglianza in questo modo:

$$ \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}=  \frac{x-x_1}{y-y_1} $$

Infine, con un semplice passaggio algebrico ottengo la condizione di allineamento dei punti di una retta

$$  \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Questo dimostra la formula dell'equazione della retta passante per due punti distinti (x₁;y₁) e (x₂,y₂) del piano.

E così via.