Isospin e gli urti tra pione e nucleone

Gli urti pione-nucleone dipendono dall’isospin perché l’interazione forte non è sensibile alla carica elettrica e distingue le particelle solo tramite l’isospin.

Pione e nucleone hanno isospin $ I=1 $ e $ I=\tfrac{1}{2} $, quindi l’urto può avvenire solo con isospin totale $ \tfrac{3}{2} $ oppure $ \tfrac{1}{2} $.

Tutti i diversi processi osservabili sono combinazioni di questi due soli canali di isospin.

Spiegazione

Considero uno scattering generico tra pione $ \pi $ e un nucleone $ N $:

\[ \pi + N \to \pi + N \]

Il pione può essere $ \pi^+ , \pi^0 , \pi^- $.

Il nucleone, invece, può essere un protone (p) o un neutrone (n).

A seconda delle cariche, l’urto può essere diverso, ma la forza forte non vede la carica elettrica, vede solo l’isospin.

il pione $ \pi $ ha isospin $ I = 1 $
il nucleone $ N $ ha isospin $ I = \tfrac{1}{2} $

Quando li metto insieme, l’isospin totale può assumere solo due valori:

\[ 1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \]

Quindi tutti gli urti possibili pion-nucleone si riducono a due soli casi fisici:

urti con isospin totale $ I = \tfrac{3}{2} $
urti con isospin totale $ I = \tfrac{1}{2} $

Non ce ne sono altri.

Nota. Il pione ha isospin $ I_1 = 1 $ e il nucleone ha isospin $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. Nella composizione degli isospin, il valore totale $ I $ può assumere tutti i valori compresi tra $ |I_1 - I_2| $ e $ I_1 + I_2 $, a passi interi o semi-interi. In questo caso: \[
|1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Quindi gli unici valori possibili dell’isospin totale sono: \[
I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] Da cui segue: \[1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] Questo significa che il sistema pione - nucleone può trovarsi solo in uno di questi due stati di isospin totale.

Nel caso dello scattering pione-nucleone, poiché il sistema può avere solo due valori di isospin totale ( $ I = \tfrac{3}{2} $ e $ I = \tfrac{1}{2} $ ) esistono solo due ampiezze di scattering distinte:

$ \mathcal M_{3/2} $ per il canale con $ I=\tfrac{3}{2} $
$ \mathcal M_{1/2} $ per il canale con $ I=\tfrac{1}{2} $

Dove l’ampiezza di scattering è un numero complesso che misura quanto è probabile che una certa reazione avvenga tramite un dato canale fisico.

Nota. Più precisamente l’ampiezza è la quantità quantistica che misura la forza di un processo di urto, e le probabilità osservabili si ottengono prendendone il modulo quadro.

Dall’ampiezza di scattering deriva la sezione d’urto.

La sezione d’urto è una grandezza che misura quanto è probabile che una certa reazione avvenga quando due particelle urtano.

In meccanica quantistica la sezione d’urto è proporzionale al modulo quadro dell’ampiezza di scattering:

\[ \sigma \propto |\mathcal M|^2 \]

La sezione d’urto non è una superficie geometrica reale, anche se ha le dimensioni di un’area. Rappresenta un’area efficace che quantifica la probabilità del processo.

Dal punto di vista operativo la sezione d’urto ( \sigma ) è definita come

\[ \sigma = \frac{\text{numero di reazioni al secondo}}{\text{flusso di particelle incidenti}} \]

In altre parole, è il rapporto tra il numero di reazioni del tipo considerato che avvengono e il numero di particelle incidenti che attraversano una certa area nell’unità di tempo.

Se $ \sigma $ è grande, la reazione è probabile.
Se $ \sigma $ è piccola, la reazione è rara.

Quindi, la sezione d’urto ( \sigma \) è molto utile perché è un valore misurabile negli esperimenti e quantifica la probabilità di una reazione di scattering.

Ogni reazione reale può essere pura o mista

In generale, a seconda dello stato iniziale dello scattering, la reazione può essere

pura se l’isospin totale è univocamente determinato
mista se lo stato iniziale è una sovrapposizione di più valori di isospin totale.

Dove lo stato iniziale di scattering è la configurazione quantistica del sistema prima dell’urto, cioè l’insieme delle particelle incidenti con le loro proprietà fisiche.

Nota. Nel caso dello scattering pion - nucleone, lo stato iniziale è semplicemente la coppia di particelle che stanno per urtare, ad esempio $ \pi^+ + p $ oppure $ \pi^- + p $, con i rispettivi numeri quantici come carica e isospin. È questo stato iniziale che determina come il sistema si decompone nei canali di isospin e quindi se la reazione è pura o mista.

Esempio

Considero lo scattering

\[ \pi^+ + p \to \pi^+ + p \]

In questo caso lo stato iniziale è $ \pi^+ + p $

Vediamo quali sono i valori di isospin lungo z

$ \pi^+ $ ha $ I_3 = +1 $
$ p $ ha $ I_3 = \frac12 $

Quindi lo stato iniziale ha come isospin totale:

\[ I_3^{ \text{tot} } = +1 + \tfrac{1}{2} = +\tfrac{3}{2} \]

Quali valori di isospin totale $ I $ sono compatibili con $ I_3 = +\tfrac{3}{2} $?

Nel sistema pione - nucleone i valori possibili di isospin sono:

$$ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} $$

Questo perché, secondo la regola di composizione degli isospin, dalla combinazione di un isospin $ I = 1 $ con un isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ si ottengono i valori

\[ I = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}, \qquad I = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} \]

Poiché il multipletto $ I = \tfrac{1}{2} $ non contiene lo stato con $ I_3 = +\tfrac{3}{2} $, l’unico valore possibile è $ I = \tfrac{3}{2} $.

Pertanto, lo scattering $ \pi^+ + p $ è una reazione di isospin puro.

In questo caso l’ampiezza di scattering è $ \mathcal M_{3/2} $ e la sezione d’urto è semplicemente proporzionale al suo modulo quadro:

\[ \sigma \propto |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Non compaiono contributi da altri canali di isospin né termini di interferenza, perché lo stato iniziale ha isospin totale ben definito $ I=\tfrac{3}{2} $.

Di conseguenza, la probabilità della reazione è determinata unicamente dalla dinamica del canale $ I=\tfrac{3}{2} $.

Esempio 2

Considero lo scattering

\[ \pi^- + p \to \pi^- + p \]

In questo caso lo stato iniziale è $ \pi^- + p $.

Vediamo quali sono i valori di isospin lungo z.

$ \pi^- $ ha $ I_3 = -1 $
$ p $ ha $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $

Quindi lo stato iniziale ha come isospin totale

\[ I_3^{\text{tot}} = -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2} \]

Quali valori di isospin totale $ I $ sono compatibili con $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $?

Nel sistema pione-nucleone i valori possibili di isospin totale sono

\[ I \in \left\{ \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{2} \right\} \]

Questo perché, secondo la regola di composizione degli isospin, dalla combinazione di un isospin $ I = 1 $ con un isospin $ I = \tfrac{1}{2} $ si ottengono i valori

\[ I = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}, \qquad \ I = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} \]

In questo caso, entrambi i multipleti $ I = \tfrac{1}{2} $ e $ I = \tfrac{3}{2} $ contengono uno stato con $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $.

Nota. Un multipletto di isospin totale $ I $ contiene tutti gli stati con valori di $ I_3 $ compresi tra $ -I $ e $ +I $, a passi interi: \[ I_3 = -I, -I+1, \dots , I-1, I \] Nel caso $ I = \tfrac{1}{2} $, i valori ammessi sono \[ I_3 = -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2}, \] mentre nel caso $ I = \tfrac{3}{2} $, i valori ammessi sono \[ I_3 = -\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}, +\tfrac{1}{2}, +\tfrac{3}{2} \] Poiché il valore $ I_3 = -\tfrac{1}{2} $ rientra in entrambi gli insiemi, esistono stati con questo valore di $ I_3 $ sia nel multipletto $ I = \tfrac{1}{2} $ sia in quello $ I = \tfrac{3}{2} $.

Pertanto, lo stato iniziale $ \pi^- + p $ non è uno stato di isospin puro, ma una combinazione lineare di stati con isospin totale $ I = \tfrac{1}{2} $ e $ I = \tfrac{3}{2} $.

\[ \pi^- p = a (I=\tfrac{3}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) + b(I=\tfrac{1}{2}, I_3=-\tfrac{1}{2}) \]

Dove $ a $ e $ b $ sono coefficienti complessi, con la normalizzazione $ |a|^2 + |b|^2 = 1 $

Questo mostra esplicitamente che lo stato iniziale $ \pi^- + p $ non ha isospin definito, ma è una sovrapposizione di uno stato con $ I=\tfrac{3}{2} $ e di uno stato con $ I=\tfrac{1}{2} $, entrambi con lo stesso valore di $ I_3 $.

Cosa cambia in una reazione mista rispetto a una reazione pura?

Nelle reazioni miste, come $ \pi^- + p $, lo stato iniziale non ha un isospin totale ben definito. Questo significa fisicamente che l’urto non avviene in un singolo canale di isospin, ma come sovrapposizione di più canali.

Nel caso $ \pi^- + p $, lo stato iniziale può essere visto come una combinazione lineare di uno stato con $ I=\tfrac{3}{2} $ e di uno stato con $ I=\tfrac{1}{2} $.

Di conseguenza, il processo di scattering può avvenire “in parte” nel canale $ I=\tfrac{3}{2} $ e “in parte” nel canale $ I=\tfrac{1}{2} $ e a ciascun valore di isospin totale è associata una diversa ampiezza di scattering:

\[ \mathcal M_{3/2} \qquad \text{e} \qquad \mathcal M_{1/2} \]

L’ampiezza totale del processo non coincide quindi con una singola ampiezza, ma è una somma pesata delle ampiezze nei due canali di isospin:

\[ \mathcal M = c_{3/2} \mathcal M_{3/2} + c_{1/2} \mathcal M_{1/2} \]

Dove i coefficienti $ c_{3/2} $ e $ c_{1/2} $ sono determinati dai coefficienti di Clebsch-Gordan che compaiono nella decomposizione dello stato iniziale.

Nota. Nelle reazioni pure, come $ \pi^+ + p $, invece, lo stato iniziale ha isospin ben definito $ I=\tfrac{3}{2} $. In questo caso esiste un solo canale di isospin e l’ampiezza del processo coincide direttamente con $ \mathcal M_{3/2} $, senza contributi aggiuntivi né interferenze.

Lo stato è misto, ma la dinamica può selezionare un solo canale

Nelle reazioni miste i canali di scattering coinvolti non hanno sempre la stessa probabilità, perché esistono fenomeni dinamici che possono aumentare la probabilità di un canale rispetto a un altro.

Ad esempio, anche se lo stato iniziale $ \pi^- + p $ contiene due componenti di isospin totale, $ I=\tfrac{1}{2} $ e $ I=\tfrac{3}{2} $, solo la componente $ I=\tfrac{3}{2} $ riesce a reagire in modo efficace, mentre l’altra rimane praticamente inattiva.

Questo accade perché esiste una risonanza $ \Delta $ con isospin $ I = \tfrac{3}{2} $ che quindi può formarsi solo nel canale $ I=\tfrac{3}{2} $ e ne amplifica fortemente l’ampiezza di scattering.

In altre parole, è come avere due canali, ma uno solo è amplificato.

Per questa ragione, nello scattering $ \pi^- + p $ l’urto avviene quasi esclusivamente tramite il canale di isospin totale $ I=\tfrac{3}{2} $. Non avviene nel canale $ I = \frac12 $.

In questo caso lo stato è misto, ma la dinamica seleziona un solo canale.

\[ \mathcal M_{3/2} \gg \mathcal M_{1/2} \]

Quindi l’ampiezza totale diventa:

\[ \mathcal M \approx c_{3/2} \mathcal M_{3/2} \]

Quindi la sezione d’urto è proporzionale a

\[ |\mathcal M|^2 \approx |c_{3/2}|^2 |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Nota. In altre parole, anche se una reazione è mista l’ampiezza è una somma di contributi: \[ \mathcal M = c_{3/2} \mathcal M_{3/2} + c_{1/2} \mathcal M_{1/2} \] Quando per motivi dinamici come la risonanza $ \Delta $ prevale un solo canale allora l'ampiezza totale diventa: \[ \mathcal M \approx c_{3/2} \mathcal M_{3/2} \] Di conseguenza, la sezione d'urto diventa: \[ |\mathcal M|^2 \approx |c_{3/2}|^2 |\mathcal M_{3/2}|^2 \]

Poiché $ c_{3/2} $ è un coefficiente di Clebsch - Gordan, e questi coefficienti sono numeri razionali semplici fissati dall’algebra dell’isospin, in questo regime i rapporti tra le sezioni d’urto non dipendono più dalla dinamica dettagliata del processo, ma solo dalla struttura di isospin degli stati coinvolti.

In generale, quando domina un solo canale di isospin, ciò che distingue le diverse reazioni sono esclusivamente i coefficienti algebrici.

Di conseguenza, i rapporti tra le sezioni d’urto assumono valori numerici semplici e universali.

Ad esempio, se considero le sezioni d'urto $ \sigma $ delle reazioni $ \pi^+ + p $ e $ \pi^- p $ il rapporto è pari a 3. \[ \frac{\sigma(\pi^+ p)}{\sigma(\pi^- p)} = 3 \] Questi valori sono verificati anche a livello sperimentali.

E così via.

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